2017考研數(shù)學(xué)：透過歷年真題讀懂大綱

模塊

考試內(nèi)容

真題題型

函數(shù)

定義

建立函數(shù)關(guān)系（如數(shù)三根據(jù)經(jīng)濟(jì)背景列出利潤的函數(shù)關(guān)系式）。

運(yùn)算（四則運(yùn)算、復(fù)合、反函數(shù)）

1.求復(fù)合函數(shù)或某函數(shù)的反函數(shù)的解析式。
2.結(jié)合函數(shù)運(yùn)算判斷函數(shù)的性質(zhì)（如“連續(xù)加連續(xù)=連續(xù)，連續(xù)+間斷=間斷”）。

性質(zhì)（有界性、單調(diào)性、周期性、奇偶性）

1.單獨(dú)以選擇題的形式考察函數(shù)是否具有該性質(zhì)。
2.運(yùn)算過程中利用該性質(zhì)化簡（如無窮小乘以有界量等于無窮小量，奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間積分值為零）。

分類（基本初等函數(shù)、初等函數(shù)、分段函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程定義的函數(shù)、變上限積分函數(shù)）

識(shí)別各類函數(shù)，并作進(jìn)一步討論（如識(shí)別該函數(shù)為隱函數(shù)，并求導(dǎo)數(shù)）。

極限

定義（數(shù)列極限、函數(shù)極限、左極限、右極限、無窮小、無窮大）

概念題。

性質(zhì)（唯一性、有界性、保號(hào)性）

有界性考概念題，保號(hào)性結(jié)合其他考點(diǎn)（極值、拐點(diǎn)、級(jí)數(shù)）考查。

計(jì)算（四則運(yùn)算法則、洛必達(dá)法則、等價(jià)無窮小替換、夾逼定理、單調(diào)有界必有極限原理、重要極限、泰勒公式）

極限計(jì)算是必考題。

連續(xù)

定義

根據(jù)定義判斷函數(shù)在一點(diǎn)、開區(qū)間以及閉區(qū)間的連續(xù)性。

間斷點(diǎn)

求給定函數(shù)的間斷點(diǎn)（找“可疑點(diǎn)”，再按照間斷點(diǎn)的分類標(biāo)準(zhǔn)一一判斷）。

初等函數(shù)的連續(xù)性

利用初等函數(shù)的定義識(shí)別初等函數(shù)，并利用此處的結(jié)論判斷其連續(xù)性。

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

用此處結(jié)論（最值定理、介值定理、零點(diǎn)定理）做中值相關(guān)證明題 。

模塊

考試內(nèi)容

真題題型

導(dǎo)數(shù)定義

導(dǎo)數(shù)定義

湊定義算極限、可導(dǎo)的充要條件。

微分定義

由微分定義得出的微分的計(jì)算公式。

可導(dǎo)、可微、連續(xù)之間的關(guān)系

分段點(diǎn)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。

導(dǎo)數(shù)計(jì)算

求導(dǎo)公式、法則

求一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)，求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。

常考類型

冪指函數(shù)求導(dǎo)、參數(shù)方程確定的函數(shù)求導(dǎo)和隱函數(shù)求導(dǎo)。求高階導(dǎo)數(shù)。

導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

切線與法線

求切線方程、法線方程以及曲線相切問題。

單調(diào)性

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或證明函數(shù)的單調(diào)性，不等式證明，根或零點(diǎn)問題。

極值

找極值點(diǎn)或極值（利用極值的必要條件和充分條件）。

凹凸性

求函數(shù)的凹凸區(qū)間或判斷函數(shù)的凹凸性。

拐點(diǎn)

找拐點(diǎn)（利用拐點(diǎn)的必要條件和充分條件）。

漸近線、曲率

求函數(shù)的漸近線（用漸近線的定義）。數(shù)一數(shù)二要求會(huì)用曲率的計(jì)算公式算曲率，利用曲率圓和曲率半徑的概念解題。

中值定理

中值定理（費(fèi)馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理）

中值相關(guān)證明（從待證式子出發(fā)，分析選擇哪類定理（連續(xù)相關(guān)定理、微分相關(guān)定理、積分相關(guān)定理））。用泰勒公式算極限。

模塊

考試內(nèi)容

真題題型

不定積分

原函數(shù)與不定積分

根據(jù)原函數(shù)與不定積分的關(guān)系求不定積分。

性質(zhì)

利用性質(zhì)化簡不定積分。

計(jì)算

考查湊微分法、根式的處理、分部積分法。有理函數(shù)積分，三角有理式的積分，指數(shù)有理式的積分。

定積分

定義

利用定義算極限（先由定積分的定義推出基本公式，在將所求極限湊成公式的形式（可分兩步走“湊i/n”，“提1/n”），再將極限化為定積分，通過算定積分間接算極限）。利用定義體現(xiàn)的微元法思想處理應(yīng)用問題。

性質(zhì)

利用性質(zhì)對(duì)定積分變形。單獨(dú)考查比較定理（考研考查定積分的比較本質(zhì)上都在考查比較定理）。

微積分基本定理

變限積分求導(dǎo)定理的證明。利用變限積分求導(dǎo)定理求變限積分的導(dǎo)數(shù)（由變限積分和另一函數(shù)構(gòu)造的復(fù)合函數(shù)，被積函數(shù)同時(shí)含有積分變量和求導(dǎo)變量）。利用牛頓萊布尼茨公式計(jì)算定積分。

定積分應(yīng)用

幾何應(yīng)用

平面圖形的面積（直角坐標(biāo)系下曲邊梯形的面積和極坐標(biāo)系下曲邊三角形的面積），簡單幾何體的體積（包括旋轉(zhuǎn)體的體積）。數(shù)一數(shù)二考查曲線弧長和旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積。幾何應(yīng)用側(cè)重套公式計(jì)算。

物理應(yīng)用

數(shù)一數(shù)二考查變力做功，形心質(zhì)心和液體的靜壓力（利用微元法推出基本公式）。物理應(yīng)用側(cè)重套利用微元法推導(dǎo)。

廣義積分

定義

利用定義判斷廣義積分的斂散性。

計(jì)算

計(jì)算廣義積分（可視為“定積分+取極限”）。