關于2018年考研數(shù)學高數(shù)考試大綱的內容解析

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　　高等數(shù)學作為碩士研究生招生考試的內容之一，主要考查考生對高等數(shù)學的基本概念、基本理論、基本方法的理解和掌握以及考生的抽象思維能力、邏輯推理能力、綜合運用能力和解決實際問題的能力。

　　依據(jù)數(shù)學考試大綱中的考試要求，我們在下面的表格中簡要羅列了高等數(shù)學在數(shù)學(一)、數(shù)學(二)和數(shù)學(三)這三個卷種中所涵蓋的考試內容。

	數(shù)學（一）	數(shù)學（二）		數(shù)學（三）
公共考點	1、函數(shù)、極限、連續(xù)；2、一元函數(shù)微分學；3、一元函數(shù)積分學； 4、多元函數(shù)微分學；5、二重積分；6、常微分方程。
單獨考點	1、向量代數(shù)和空間解析幾何； 2、三重積分、曲線曲面積分； 3、無窮級數(shù) （1）常數(shù)項級數(shù) （2）冪級數(shù) （3）傅里葉級數(shù)			1、差分方程； 2、無窮級數(shù) （1）常數(shù)項級數(shù) （2）冪級數(shù)

　　接下來，我們就從數(shù)學(一)、數(shù)學(二)、數(shù)學(三)的公共部分開始。

　　一、函數(shù)、極限、連續(xù)

　　高等數(shù)學在考研中，也被稱為微積分學。微積分學的研究對象是函數(shù)，許多重要的概念都需要用極限理論精確定義，因此極限是微積分學的重要基礎，這部分內容對后續(xù)內容的學習影響深遠，故應重點掌握。

　　在這一部分，由于數(shù)學(一)、數(shù)學(二)、數(shù)學(三)的考試要求完全一樣，故這里不做分類。

　　考綱內容：

　　1、函數(shù)的概念及表示法、函數(shù)關系的建立;

　　2、函數(shù)的有界性、單調性、周期性和奇偶性;

　　3、復合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù);

　　4、基本初等函數(shù)的性質及其圖形，初等函數(shù);

　　5、數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質;

　　6、函數(shù)的左極限和右極限;

　　7、無窮小量和無窮大量的概念及其關系，無窮小量的性質及無窮大量的比較;

　　8、極限的四則運算：掌握極限的四則運算法則;

　　9、極限存在的兩個準則(單調有界準則和夾逼準則)，兩個重要極限;

　　10、函數(shù)連續(xù)的概念，函數(shù)間斷點的類型;

　　11、初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質;

　　根據(jù)往年改卷反饋回來的數(shù)據(jù)可知，大部分考生對函數(shù)、極限、連續(xù)這一部分的內容普遍掌握得比較好，但由于這部分內容與后續(xù)內容多有交叉，因此考生要注意前后知識的融會貫通。

　　二、一元函數(shù)微分學

　　一元函數(shù)微分學不僅在微積分的學習中占有著極其重要的地位，而且它也是考研數(shù)學考查的重點。在這里，對于數(shù)學(一)和數(shù)學(二)單獨考點，我們會在相應的內容后面予以標出，未做任何標出的內容則為數(shù)學(一)、數(shù)學(二)、數(shù)學(三)的公共考點。

　　(一)考綱內容：

　　1、導數(shù)和微分的概念：須掌握一階導數(shù)和二階導數(shù)的定義式;

　　2、導數(shù)的意義：

　　(1)幾何意義：

　　(2)物理意義：數(shù)學(一)、(二);

　　(3)經(jīng)濟意義：數(shù)學(三);

　　3、函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關系;

　　4、導數(shù)和微分的四則運算;

　　5、基本初等函數(shù)的導數(shù)、復合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法，高階導數(shù)，一階微分形式的不變性;

　　6、微分中值定理;

　　7、導數(shù)的應用，具體考點如下：

　　(1)平面曲線的切線和法線;

　　(2)洛必達法則;

　　(3)函數(shù)單調性的判別;

　　(4)函數(shù)的極值;

　　(5)函數(shù)圖形的凹凸性、拐點及漸近線;

　　(6)函數(shù)圖形的描繪;

　　(7)函數(shù)的最大值與最小值;

　　(8)弧微分、曲率的概念、曲率圓與曲率半徑：數(shù)學(一)、(二)。

　　(二)重點及常見考點：

　　1、基本概念方面：重點有導數(shù)和微分的定義、可導與連續(xù)的關系?？忌枰莆找浑A和二階導數(shù)的定義，會利用導數(shù)的定義討論分段函數(shù)在分段點處的可導性。

　　2、理論方面：重點是羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理;這里考生要掌握通過構造輔助函數(shù)證明中值問題。

　　3、計算方面：重點是基本初等函數(shù)的導數(shù)、微分公式，導數(shù)、微分的四則運算以及反函數(shù)、隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導公式。此外，這里還要求考生會求函數(shù)的二階導數(shù)和某些函數(shù)的n階導數(shù)。

　　4、應用部分：重點是利用導數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)。

　　三、一元函數(shù)積分學

　　這部分內容是拉開考生之間學習差距的一個重要節(jié)點。

　　考綱內容：

　　1、原函數(shù)、不定積分和定積分的概念：要求考生理解原函數(shù)、不定積分和定積分的概念;

　　2、不定積分和定積分的基本性質、基本積分公式、定積分中值定理：要求考生掌握不定積分的基本公式、不定積分和定積分的性質以及定積分中值定理;

　　3、不定積分和定積分的換元積分法和分部積分法：要求考生熟練掌握這兩種積分法的使用;

　　4、有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分：做到會計算(數(shù)學(一)、數(shù)學(二));

　　5、積分上限的函數(shù)及其導數(shù)、牛頓-萊布尼茲公式：要求考生理解積分上限函數(shù)，會求它的導數(shù)，掌握牛頓-萊布尼茲公式的使用;

　　6、反常(廣義)積分：了解反常積分的概念、會計算反常積分;

　　7、定積分的應用：

　　(1)平面圖形的面積、旋轉體的體積、函數(shù)的平均值;

　　(2)平面曲線的弧長、旋轉體的側面積(數(shù)學(一)、數(shù)學(二));

　　(3)功、引力、壓力、質心、形心等(數(shù)學(一)、數(shù)學(二));

　　(4)會利用定積分求解簡單的經(jīng)濟應用問題(數(shù)學(三))。

　　四、多元函數(shù)微分學

　　多元函數(shù)微分學是一元函數(shù)微分學的發(fā)展，二者之間既有相同點，也有很多區(qū)別，在學習中要注意比較異同點，加深對基本理論的理解和應用。

　　考綱內容：

　　1、多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的幾何意義：理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義;

　　2、二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念、有界閉區(qū)域上多元函數(shù)的性質：了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質;

　　3、多元函數(shù)的偏導數(shù)和全微分、全微分存在的必要條件和充分條件：理解多元偏導數(shù)和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性;

　　4、多元復合函數(shù)、隱函數(shù)的求導法、二階偏導數(shù)：掌握多元復合函數(shù)一階、二階偏導數(shù)的求法，了解隱函數(shù)存在定理(數(shù)一)，會求多元隱函數(shù)的偏導數(shù);

　　5、多元函數(shù)的極值和條件極值、多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡單應用：理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值、會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題。

　　6、(數(shù)一)方向導數(shù)和梯度：理解方向導數(shù)和梯度，并掌握其計算方法;

　　7、(數(shù)一)空間曲線的切線和法平面、曲面的切平面和法線：了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程。

　　五、多元函數(shù)積分學

　　考綱內容：

　　1、二重積分的概念、性質和計算：了解二重積分的概念與基本性質，掌握二重積分的計算方法(直角坐標、極坐標);

　　2、(數(shù)三)無界區(qū)域上簡單的反常二重積分：了解無界區(qū)域上較簡單的反常二重積分并會計算.

　　3、(數(shù)一)三重積分的概念、性質、計算和應用：會計算三重積分(直角坐標、柱面坐標、球面坐標);

　　4、(數(shù)一)兩類曲線積分的概念、性質及計算、兩類曲線積分的關系：理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質及兩類曲線積分的關系，掌握計算兩類曲線積分的方法;

　　5、(數(shù)一)格林公式、平面曲線積分與路徑無關的條件、二元函數(shù)全微分的原函數(shù)：掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑無關的條件，會求二元函數(shù)全微分的原函數(shù);

　　6、(數(shù)一)兩類曲面積分的概念、性質及計算、兩類曲面積分的關系、高斯公式、斯托克斯公式：了解兩類曲面積分的概念、性質、及兩類曲面積分的關系，掌握計算兩類曲面積分的方法，掌握用高斯公式計算曲面積分的方法，并會用斯托克斯公式計算曲線積分。

　　7、(數(shù)一)散度、旋度的概念及計算：了解散度與旋度的概念，并會計算;

　　8、(數(shù)一)曲線和曲面積分的應用：會用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長、質量、質心、形心、轉動慣量、引力、功及流量等)。

　　六、常微分方程

　　常微分方程是與微積分有緊密聯(lián)系的一門數(shù)學分支、在實際問題中有重要應用。利用常微分方程建立實際問題的數(shù)學模型和方程的求解是這部分內容的兩個核心問題。

　　考綱內容：

　　1、常微分方程的基本概念：了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念;

　　2、變量可分離的微分方程、、齊次微分方程、一階線性微分方程：掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法，會解齊次微分方程;

　　3、(數(shù)一)伯努利方程、全微分方程、可用簡單的變量代換求解某些微分方程：會解伯努利和全微分方程，會用簡單的變量代換求解某些微分方程;

　　4、(數(shù)一、數(shù)二)可降階的高階微分方程：會用降階法解下列形式的微分方程： 5、線性微分方程解的性質及解的結構定理：理解線性微分方程解的性質及解的結構;

　　6、二階常系數(shù)齊次線性微分方程：掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法;

　　7、(數(shù)一、數(shù)二)高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程：會求解某些高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程;

　　8、簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程：會解自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，(數(shù)一、數(shù)二)以及這些自由項的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程;

　　9、(數(shù)一)歐拉方程：會解歐拉方程;

　　10、微分方程的簡單應用：會用微分方程解決一些簡單的應用問題，(數(shù)三)會用微分方程求解簡單的經(jīng)濟應用問題。

　　七、差分方程(數(shù)三)

　　考綱內容：

　　1、差分與差分方程的概念、差分方程的通解與特解：了解差分與差分方程及其通解與特解等概念;

　　2、一階常系數(shù)線性差分方程：了解一階常系數(shù)線性差分方程的求解方法。

　　八、無窮級數(shù)(數(shù)一、數(shù)三)

　　1、常數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散的概念、收斂級數(shù)的和的概念：了解級數(shù)的收斂與發(fā)散、收斂級數(shù)的和的概念;

　　2、級數(shù)的基本性質與收斂的必要條件、幾何級數(shù)與p級數(shù)及其收斂性、正項級數(shù)收斂性的判別法：了解級數(shù)的基本性質及級數(shù)收斂的必要條件，掌握幾何級數(shù)及p級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件，掌握正項級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法;

　　3、任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂、交錯級數(shù)與萊布尼茨定理：了解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關系，了解交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法;

　　4、冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間(指開區(qū)間)和收斂域：理解冪級數(shù)收斂半徑的概念，掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法;

　　5、冪級數(shù)的和函數(shù)、冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內的基本性質、簡單冪級數(shù)的和函數(shù)的求法：掌握冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內的基本性質(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項積分和逐項求導)，會求簡單冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內的和函數(shù)，并會由此求出某些數(shù)項級數(shù)的和;

　　6、初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式：掌握 的麥克勞林公式，

　　7、(數(shù)一)函數(shù)的傅里葉系數(shù)與傅里葉級數(shù)、狄利克雷定理、函數(shù)在 上的傅里葉級數(shù)、函數(shù)在上的正弦級數(shù)和余弦級數(shù)：了解傅里葉級數(shù)、狄利克雷定理，會將定義在 上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，會將定義在 上的函數(shù)展開為正弦級數(shù)與余弦級數(shù)，會寫出傅里葉級數(shù)的和函數(shù)的表達式。

　　本章節(jié)的重點：

　　1、常數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散的概念、基本性質與收斂的必要條件，這些概念是級數(shù)的基礎概念，是后續(xù)內容的基礎;

　　2、常用級數(shù)的斂散性：幾何級數(shù)與p級數(shù);

　　3、能夠識別數(shù)項級數(shù)的類型、具備綜合利用性質和主要判別法判斷級數(shù)的收斂性的能力;

　　4、會計算冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間、和收斂域，注意收斂區(qū)間與收斂域的區(qū)別與聯(lián)系;

　　5、注意簡單冪級數(shù)的和函數(shù)的做法，能夠靈活利用冪級數(shù)的分析性質將函數(shù)展開成冪級數(shù)。

　　(跨考教育數(shù)學教研室 包新卓 轉載請注明出處)

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