2018考研數(shù)學(xué)大綱預(yù)測 ——線性代數(shù)復(fù)習(xí)重點
根據(jù)考研數(shù)學(xué)的考察目標(biāo)和學(xué)生的學(xué)習(xí)特點，我們可以把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點分為基礎(chǔ)、方法和熟練。對于2018考研的學(xué)生來說，現(xiàn)階段的任務(wù)是掌握方法。以線代的第一章行列式為例，這一章主要是行列式的計算，行列式的計算可以分為數(shù)值型行列式的計算和抽象型行列式計算，而數(shù)值型的行列式的計算整體的思想就是降階，方法包括展開定理、拉普拉斯展開定理、范德蒙行列式、三角化和遞推公式。其中當(dāng)行列式的某行(列)只有一個或兩個非0元的時候，可以用展開定理，如果不滿足這種條件，就可以找1化0，利用行列式性質(zhì)化簡;當(dāng)行列式0元素比較多，又比較集中時，可以考慮用拉普拉斯展開定理計算行列式;當(dāng)行列式的行(列)成比例時，可以用范德蒙行列式公式計算行列式，當(dāng)然一般不會直接讓你計算一個標(biāo)準(zhǔn)的范德蒙行列式，肯定是給你一個疑似范德蒙的行列式，需要你變形之后才能用范德蒙行列式的計算公式;兩種特點的行列式適合用三角化的方法，一個是行和、列和相等的行列式，一個是主對角線元素一致(或近似)，其余元素相等(或成比例)，針對第一個特點，行(列)和相等加到第一列(行)，然后將第一列(行)的元素提出，三角化就可以將行列式化成上三角(或下三角)行列式，針對第二個特點，可以先將行列式化為爪形行列式，再化成上三角(或下三角)行列式;當(dāng)一個行列式寫成數(shù)列的形式，比如 ，我們就可以用遞推公式，利用行列式展開定理找到遞推關(guān)系，就可以算出來了，有的題找一次遞推關(guān)系就可以了，而有的題要找兩次遞推關(guān)系才能把題算出來。抽象行列式的計算方法包括利用行列式性質(zhì)、利用矩陣運算、利用相關(guān)公式、利用單位矩陣變形和利用特征值。各章都要總結(jié)出題型和方法，然后就可以用學(xué)到的方法大量的刷題了。
在一張考研數(shù)學(xué)試卷中，數(shù)一、數(shù)二、數(shù)三的線性代數(shù)滿分都是34分，包括兩個選擇題、一個填空題，每題4分，共12分，兩道大題，每題一般11分，共22分。
接下來我們看一下線性代數(shù)這個學(xué)科各章的重點內(nèi)容。線性代數(shù)一共六章的內(nèi)容：行列式、矩陣、向量、線性方程組、特征值與特征向量、二次型。數(shù)學(xué)教研室統(tǒng)計了近十年的線代的考頻(包括數(shù)一、數(shù)二、數(shù)三)：1、行列式。近十年中，直接考察行列式的頻率為10次。行列式是線性代數(shù)的計算工具，直接考察的頻率不高，但后面的章節(jié)要用到行列式的計算，比如從行列式的角度判定一個方程組有沒有解、特征值的計算。2、矩陣。矩陣近十年的考頻是24次，但矩陣的考頻應(yīng)該是30次，因為矩陣是線性代數(shù)的研究對象，后面的線性方程組、特征值與特征向量等，我們都要研究矩陣的秩，都是在研究方程組。這個24次，實際上是直接考察矩陣的頻率。3、向量。向量近十年的考頻是22次。向量是比較抽象的一章，并且和后面的線性方程組聯(lián)系密切。4、線性方程組。線性方程組的考頻是30次，也就是說線性方程組無論考大題還是考小題，年年考察，并且近十年多以大題為主。2017年第一道線代的大題就是考的線性方程組解的結(jié)構(gòu)問題。5、特征值與特征向量。特征值與特征向量近十年考頻是22次，特征值與特征向量這章包括了相似對角化及正交相似對角化，是后面二次型的基礎(chǔ)。6、二次型。二次型近十年考頻是28次，二次型是線代的最后一章，也是一個集大成者的章節(jié)，會用到前面的很多知識。特征值與特征向量、二次型這兩章一般會出一道大題，2017年的第二道大題就考的就是用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。
所以線性代數(shù)的兩道大題經(jīng)常出在后面四個章，而后四章，線性方程組和二次型的頻率比較高，線性代數(shù)要想考出好成績，必須要把兩道大題拿下。
(跨考教育數(shù)學(xué)教研室 張艷宏 轉(zhuǎn)載請注明出處)
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