2018考研數(shù)學(xué)大綱解析之線(xiàn)性代數(shù)命題點(diǎn)

　　一年一度的考研大綱如期而至，你做好準(zhǔn)備了嗎?考研大綱的出爐代表著考研已經(jīng)進(jìn)入到全面復(fù)習(xí)階段。但是同學(xué)們對(duì)考研的命題思路有所了解嗎?知道側(cè)重于哪些章節(jié)出題，出什么樣的類(lèi)型題嗎?下面一起根據(jù)考研大綱來(lái)分析下線(xiàn)性代數(shù)的命題思路。

　　首先要明確現(xiàn)代的考題類(lèi)型為2道選擇、1道填空和2道大題。

　　其次要明確向量空間是數(shù)一比數(shù)二數(shù)三多考的內(nèi)容，那其他題目在設(shè)置上有區(qū)別嗎?答案是，有。這個(gè)區(qū)別要看當(dāng)年數(shù)一的試卷中考不考向量空間的題目，如果考，那三套試卷的題目不一樣，如果不考，則一樣，而向量空間是低頻考點(diǎn)，近15年只考了5道題，也就是說(shuō)這五年的不一樣，其余10年考的題目都一樣。所以，數(shù)三的難度在向數(shù)一數(shù)二看齊，趨于同難度化。

　　下面分章節(jié)分析出題點(diǎn)：

　　第一章行列式在考研大綱中的考試內(nèi)容為：行列式的概念和基本性質(zhì)、行列式按行(列)展開(kāi)定理，考試要求為：了解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)、會(huì)應(yīng)用行列式的性質(zhì)和行列式按行(列)展開(kāi)定理計(jì)算行列式。

　　行列式是線(xiàn)性代數(shù)學(xué)科的基礎(chǔ)和運(yùn)算工具，是出小題的點(diǎn)，數(shù)值型和抽象型計(jì)算行列式都有可能，考頻中等。但不要忽視行列式，它可以是大題的一個(gè)步驟，比如通過(guò)計(jì)算方程組系數(shù)矩陣的行列式來(lái)分析參數(shù)不同取值下方程組解的情況。所以行列式是基礎(chǔ)。

　　第二章矩陣考試內(nèi)容為：矩陣的概念、矩陣的線(xiàn)性運(yùn)算、矩陣的乘法、方陣的冪、方陣乘積的行列式、矩陣的轉(zhuǎn)置、逆矩陣的概念和性質(zhì)、矩陣可逆的充分必要條件、伴隨矩陣、矩陣的初等變換、初等矩陣、矩陣的秩、矩陣的等價(jià)、分塊矩陣及其運(yùn)算?？荚囈鬄椋豪斫饩仃嚨母拍?，了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對(duì)角矩陣、三角矩陣、對(duì)稱(chēng)矩陣和反對(duì)稱(chēng)矩陣以及它們的性質(zhì);掌握矩陣的線(xiàn)性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置以及它們的運(yùn)算規(guī)律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質(zhì);理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會(huì)用伴隨矩陣求逆矩陣;理解矩陣初等變換的概念，了解初等矩陣的性質(zhì)和矩陣等價(jià)的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法;了解分塊矩陣及其運(yùn)算.

　　矩陣也是基礎(chǔ)部分，出小題的點(diǎn)，可能給出矩陣方程來(lái)求逆矩陣或伴隨矩陣，初等變換也是出選擇題的點(diǎn)，要會(huì)求一個(gè)矩陣的逆矩陣，掌握秩的概念并且會(huì)求一個(gè)矩陣的秩。著重掌握對(duì)稱(chēng)矩陣及正交矩陣的性質(zhì)。

　　第三章向量考試內(nèi)容：向量的概念、向量的線(xiàn)性組合與線(xiàn)性表示、向量組的線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)、向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組、等價(jià)向量組、向量組的秩、向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系、向量空間及其相關(guān)概念(數(shù)一)、維向量空間的基變換和坐標(biāo)變換(數(shù)一)、過(guò)渡矩陣(數(shù)一)向量的內(nèi)積、線(xiàn)性無(wú)關(guān)向量組的正交規(guī)范化方法、規(guī)范正交基、正交矩陣及其性質(zhì)。考試要求：理解向量的線(xiàn)性組合與線(xiàn)性表示的概念;理解向量組線(xiàn)性相關(guān)、線(xiàn)性無(wú)關(guān)的概念，掌握向量組線(xiàn)性相關(guān)、線(xiàn)性無(wú)關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別法;理解向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組和向量組的秩的概念，會(huì)求向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組及秩;理解向量組等價(jià)的概念，理解矩陣的秩與其行(列)向量組的秩之間的關(guān)系;了解維向量空間、子空間、基底、維數(shù)、坐標(biāo)等概念(數(shù)一);了解基變換和坐標(biāo)變換公式，會(huì)求過(guò)渡矩陣(數(shù)一);了解內(nèi)積的概念，掌握線(xiàn)性無(wú)關(guān)向量組正交規(guī)范化的施密特(Schmidt)方法;了解規(guī)范正交基、正交矩陣的概念以及它們的性質(zhì).

　　從向量這一章開(kāi)始出大題，向量單獨(dú)出大題的概率很低，但它可以和方程組結(jié)合出題。這一章重點(diǎn)掌握向量的線(xiàn)性表出、線(xiàn)性相關(guān)和線(xiàn)性無(wú)關(guān)與秩、矩陣和行列式的關(guān)系，要會(huì)證明一個(gè)向量組無(wú)關(guān)。

　　第四章線(xiàn)性方程組考試內(nèi)容：線(xiàn)性方程組的克拉默(Cramer)法則、齊次線(xiàn)性方程組有非零解的充分必要條件、非齊次線(xiàn)性方程組有解的充分必要條件、線(xiàn)性方程組解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)、齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系和通解、解空間、非齊次線(xiàn)性方程組的通解?？荚囈螅簳?huì)用克拉默法則;理解齊次線(xiàn)性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線(xiàn)性方程組有解的充分必要條件;理解齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系、通解及解空間的概念，掌握齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系和通解的求法;理解非齊次線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)及通解的概念;掌握用初等行變換求解線(xiàn)性方程組的方法。

　　線(xiàn)性方程組是線(xiàn)性代數(shù)的核心章節(jié)，近15年有14年都考了方程組的一道大題，所以方程組是我們復(fù)習(xí)的重點(diǎn)。考題中不會(huì)只給出一個(gè)其次或非齊次的方程去求解，這樣有些太簡(jiǎn)單了。在考題中會(huì)設(shè)置障礙來(lái)增加難度，比如系數(shù)矩陣中含有參數(shù)，比如給出一個(gè)方程組的解，去求相關(guān)方程組的解，或者近幾年將矩陣的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成方程組去解答等。對(duì)于同解和公共解掌握基本的題型和方法就好，考頻低。

　　第五章矩陣的特征值和特征向量考試內(nèi)容：矩陣的特征值和特征向量的概念、性質(zhì)，相似變換、相似矩陣的概念及性質(zhì)、矩陣可相似對(duì)角化的充分必要條件及相似對(duì)角矩陣、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值、特征向量及其相似對(duì)角矩陣?？荚囈螅豪斫饩仃嚨奶卣髦岛吞卣飨蛄康母拍罴靶再|(zhì)，會(huì)求矩陣的特征值和特征向量、理解相似矩陣的概念、性質(zhì)及矩陣可相似對(duì)角化的充分必要條件，掌握將矩陣化為相似對(duì)角矩陣的方法、掌握實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)。

　　這一章開(kāi)始是第二個(gè)出大題的點(diǎn)，可能單獨(dú)出題，也可能和二次型結(jié)合出題。要會(huì)計(jì)算矩陣的特征值和特征向量，知道它們和方程組和秩的關(guān)系，要會(huì)判定一個(gè)矩陣是否能相似對(duì)角化，如果能，要會(huì)求對(duì)角矩陣和P矩陣。實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣可以用正交矩陣相似對(duì)角化，在求Q矩陣時(shí)先求出特征向量，再進(jìn)行正交化和單位化。

　　第六章二次型考試內(nèi)容：二次型及其矩陣表示、合同變換與合同矩陣、二次型的秩、慣性定理、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形、用正交變換和配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形、二次型及其矩陣的正定性?？荚囈螅赫莆斩涡图捌渚仃嚤硎?，了解二次型秩的概念，了解合同變換與合同矩陣的概念，了解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形的概念以及慣性定理，掌握用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法，會(huì)用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，理解正定二次型、正定矩陣的概念，并掌握其判別法。

　　第六章作為同樣出大題的點(diǎn)，要掌握正交變化法將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)型，會(huì)求C矩陣，求它們的重點(diǎn)是理解正交變換法將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)型與正交矩陣的相似對(duì)角化的聯(lián)系。掌握矩陣合同的充要條件，正定的定義，會(huì)證明矩陣正定。

　　以上是結(jié)合考研大綱對(duì)各章命題點(diǎn)的分析，同學(xué)們?cè)谧稣骖}的過(guò)程中要注重總結(jié)題型和方法，反復(fù)做真題，一定會(huì)有預(yù)期的收獲，加油!

　(跨考教育數(shù)學(xué)教研室  高楊  轉(zhuǎn)載請(qǐng)注明出處)