2015考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：思而去罔(二)_跨考網(wǎng)

　　3. 學(xué)數(shù)學(xué)同時(shí)也學(xué)了英語(yǔ)，理解了漢語(yǔ)同時(shí)也記住了數(shù)學(xué)符號(hào)。這狀態(tài)聽(tīng)起來(lái)不錯(cuò)，要不要試一下?

　　(1) 微分的符號(hào)為什么是“d”?為什么常用“I”表示一個(gè)定積分?矩陣轉(zhuǎn)置的符號(hào)為什么是“T”?

　　“d”是微分的英文differential的首字母;“I”是積分的英文integral 的首字母;“T”是轉(zhuǎn)置的英文transpose 的首字母。

　　(2) 微分方程的類(lèi)型不少，你能根據(jù)名字識(shí)別它們嗎?

　　關(guān)于微分方程，我們?cè)诨A(chǔ)階段要掌握的是識(shí)別和求解。

　　對(duì)于可分離變量的微分方程，如何識(shí)別?關(guān)鍵信息就在它的名字中——“可分離變量”。如果所給微分方程的x和y是完全可以分開(kāi)的，那么這就屬于此類(lèi)方程。它的解法也與名字“可分離變量”直接相關(guān)——通過(guò)恒等變形把x和y的式子移到等式的兩邊，然后兩邊求不定積分即可。

　　對(duì)于齊次微分方程，也可以通過(guò)名稱(chēng)識(shí)別：齊次是什么意思?字面含義是次數(shù)相等。“齊次微分方程”的“齊次”指方程的每一項(xiàng)關(guān)于x、y次數(shù)都相等，如x的平方，x乘y，y的平方均為二次項(xiàng)(注意 “齊次線性方程組”中的“齊次”是指每個(gè)方程的每一項(xiàng)關(guān)于x的次數(shù)相等; “二階常系數(shù)齊次線性微分方程”中的“齊次”指微分方程的每一項(xiàng)關(guān)于x的次數(shù)相等(都是零次))。那么如果一個(gè)一階微分方程，每一項(xiàng)x、y次數(shù)都相等，那么就屬于此類(lèi)型。

　　對(duì)于一階線性微分方程，識(shí)別的關(guān)鍵也在其名字——“一階線性”?！耙浑A”體現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)是一階，“線性”在數(shù)學(xué)中即一次的意思，如線性函數(shù)即為一次函數(shù)，體現(xiàn)在微分方程關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)和y是一次的，即不會(huì)出現(xiàn)y的導(dǎo)數(shù)的平方或y的導(dǎo)數(shù)乘以y這種非線性的項(xiàng)。

　　對(duì)于二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，可以類(lèi)似按關(guān)鍵字“二階”、“常系數(shù)”、“非齊次”和“線性”理解。

　　其實(shí)，這部分內(nèi)容也可以理解成“顧名思義”。如果你也覺(jué)得挺有意思，那不妨自己主動(dòng)去發(fā)現(xiàn)。

　　4. 有時(shí)，我們可以用聯(lián)想把數(shù)學(xué)和其它學(xué)科聯(lián)系起來(lái)，體會(huì)某種“異質(zhì)同構(gòu)”的樂(lè)趣。

　　(1)求極限的題目中，如果是這種類(lèi)型的：分子分母均為若干個(gè)無(wú)窮大的加減，可以用“抓大頭”這種方法。所謂“抓大頭”就是原極限等于從分子分母中分別抓出起決定作用的無(wú)窮大再算極限。這種做法是不是用點(diǎn)像“射人先射馬，擒賊先擒王”，或者“首犯必辦，脅從不論”?

　　(2)還有一種求極限的題目，分子或分母中有一項(xiàng)(非因子)是冪指型函數(shù)。有同學(xué)直接把這個(gè)冪指型函數(shù)的極限算出來(lái)，再算剩余部分的極限。想想他犯了什么錯(cuò)誤?是犯了刻舟求劍的錯(cuò)誤，還是形而上學(xué)的錯(cuò)誤?想想這些是不是有點(diǎn)意思?

　　二、方法

　　1. 在數(shù)學(xué)上，我們學(xué)習(xí)一個(gè)新的內(nèi)容，一般是按照定義、性質(zhì)和計(jì)算來(lái)學(xué)習(xí)。那么大家復(fù)習(xí)時(shí)，也可以從這三個(gè)方面來(lái)進(jìn)行。

　　比如極限、連續(xù)、可導(dǎo)，比如行列式、矩陣、向量等。

　　2. 我們學(xué)習(xí)一種方法，可以問(wèn)自己這兩個(gè)問(wèn)題：何時(shí)用?怎么用?把這兩個(gè)問(wèn)題回答完整了，這種方法也掌握得差不多了。

　　比如不定積分的分部積分法，何時(shí)用?被積函數(shù)是兩個(gè)不同類(lèi)型的函數(shù)之積或者被積函數(shù)含有對(duì)數(shù)函數(shù)，反三角函數(shù)這類(lèi)求導(dǎo)之后比自身簡(jiǎn)單的函數(shù)。怎么用? 選擇被積函數(shù)的一部分作為u，剩下的部分作為v的導(dǎo)數(shù)。那么什么樣的函數(shù)適合作為u呢?我們觀察分部積分公式會(huì)發(fā)現(xiàn)，用了公式后是要對(duì)u求導(dǎo)數(shù)的，那么u自然要選擇求導(dǎo)后比自己簡(jiǎn)單的函數(shù)。所以，適合作為u的除了上面提到的兩類(lèi)函數(shù)外，還有多項(xiàng)式。那么什么樣的函數(shù)作為v的導(dǎo)數(shù)呢?再觀察分部積分公式，可以認(rèn)為要用這個(gè)公式，第一步是把v的導(dǎo)數(shù)“往微分號(hào)d里拿”，即湊微分。所以易湊微分的函數(shù)適合作為v的導(dǎo)數(shù)，比如正余弦函數(shù)，指數(shù)函數(shù)等。

　　再比如帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式(帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式主要用來(lái)算極限)，何時(shí)用?出現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)(大于等于二階)時(shí)。怎么用?選一個(gè)函數(shù)，選一個(gè)點(diǎn)，把函數(shù)在該點(diǎn)展開(kāi)。函數(shù)的選擇比較容易，一般題目中就一個(gè)函數(shù);點(diǎn)的選擇有點(diǎn)講究，一般是找給出信息比較多的點(diǎn)，最好包含導(dǎo)數(shù)信息。

　　三、其它

　　套用電影《肖申克的救贖》中的臺(tái)詞：既然我們已經(jīng)思考了這么多，為什么不再多思考一步呢?

　　1. 我們需要的是靈丹妙藥嗎?

　　課程、輔導(dǎo)書(shū)和方法能給我們不小的幫助，但真正使我們能力增強(qiáng)的是我們的主動(dòng)思考和不懈付出。

　　2. 作為準(zhǔn)研究生的我們應(yīng)當(dāng)如何?

　　研究從主動(dòng)思考開(kāi)始，思而去罔。