2016考研數(shù)學(xué)臨考溫馨提示
一、正項(xiàng)級數(shù)的斂散性
我們先看一道90后的真題(96-3)。這是一道抽象級數(shù)斂散性判斷的題。有同學(xué)總對抽象級數(shù)懷有“敬畏”之心，覺得不具體、難處理。其實(shí)，抽象級數(shù)只是樣子嚇人，還是用具體級數(shù)那些知識判斷。
以選項(xiàng)A 為例，已知兩個(gè)級數(shù)收斂，結(jié)論是另一個(gè)級數(shù)收斂。首先看所給級數(shù)是什么類型的級數(shù)。因?yàn)檫x項(xiàng)涉及的級數(shù)的一般項(xiàng)都有平方，所以均為正項(xiàng)級數(shù)。我們自然想到正項(xiàng)級數(shù)的判別法——比較、比值和根值法。優(yōu)先考慮比較法，考慮條件和結(jié)論中的級數(shù)的一般項(xiàng)有無大小關(guān)系。級數(shù)的項(xiàng)有平方，所以考慮均值不等式。得到一般項(xiàng)之間的大小關(guān)系后，再由比較判別法不難得出結(jié)論。
判斷正項(xiàng)級數(shù)的斂散性，主要利用正項(xiàng)級數(shù)的判別法，不管級數(shù)是以具體級數(shù)還是以抽象級數(shù)的面目出現(xiàn)。
二、推廣的p-級數(shù)
常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判斷是有可能考難題的。有時(shí)“難”并不表現(xiàn)為難以選出正確答案，而是選出答案后拿不準(zhǔn)：想不清楚為什么對，為什么錯(cuò)。下面我們要討論的這道2004年數(shù)學(xué)一的題，選出正確答案并不難，但是想清楚為什么是需要費(fèi)一番周折的，舉反例需用到推廣的p-級數(shù)。具體討論如下：
首先不少同學(xué)會(huì)遇到一個(gè)問題：每個(gè)選項(xiàng)中出現(xiàn)的極限怎么用?意味著什么?這個(gè)問題不難解決：把n或n^2拿到分母上即可。以選項(xiàng)A為例，變形后的極限意味著an為1/n的高階無窮小。
越過第一道障礙后，要選出正確答案并不難。注意到選項(xiàng)B的表述正好滿足“同階同斂散”，故正確。實(shí)際上，選項(xiàng)B是來自同濟(jì)版高數(shù)教材上的原定理。
也有同學(xué)在越過第一道障礙后，對選項(xiàng)A，直接利用正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法——“大收斂推小收斂”，得出結(jié)論。這就中了命題老師的招了。該選項(xiàng)形似“大收斂推小收斂”，實(shí)則不是。正確翻譯后應(yīng)為：“大發(fā)散推小收斂”。首先這個(gè)推理是不成立的。如果舉反例，需要把推廣的p-級數(shù)搬出來，如an=1/(nlnn)滿足選項(xiàng)A的條件，但以它為一般項(xiàng)的級數(shù)發(fā)散。
此道真題提醒考生：若題目已知一個(gè)正項(xiàng)級數(shù)的斂散性，說它必和某p-級數(shù)對應(yīng)。這時(shí)舉反例應(yīng)請出推廣的p-級數(shù)。
歷年真題凝聚著命題專家的心血，考生用心體會(huì)，必能獲益良多。
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