2014考研數學:備考的基本方法及運算_跨考網
2014考研數學:基本方法及運算
對于考研數學中的線性代數這一門有很多的復習技巧,掌握這些技巧之后對于提高成績有著很大的幫助。
一、注重對考研數學知識中基本概念的理解與把握,正確熟練運用基本方法及基本運算。
線性代數的概念很多,重要的有:代數余子式,伴隨矩陣,逆矩陣,初等變換與初等矩陣,正交變換與正交矩陣,秩(矩陣、向量組、二次型),等價(矩陣、向量組),線性組合與線性表出,線性相關與線性無關,極大線性無關組,基礎解系與通解,解的結構與解空間,特征值與特征向量,相似與相似對角化,二次型的標準形與規(guī)范形,正定,合同變換與合同矩陣。
往年常有考生沒有準確把握住概念的內涵,也沒有注意相關概念之間的區(qū)別與聯(lián)系,導致做題時出現(xiàn)錯誤。例如,矩陣A=(α1,α2,…,αm)與B=(β1,β2…,βm)等價,意味著經過初等變換可由A得到B,要做到這一點,關鍵是看秩r(A)與r(B)是否相等,而向量組α1,α2,…αm與β1,β2,…βm等價,說明這兩個向量組可以互相線性表出,因而它們有相同的秩,但是向量組有相同的秩時,并不能保證它們必能互相線性表現(xiàn),也就得不出向量組等價的信息,因此,由向量組α1,α2,…αm與β1,β2,…βm等價,可知矩陣A=(α1,α2,…αm)與B=(β1,β2,…βm)等價,但矩陣A與B等價并不能保證這兩個向量組等價。又如,實對稱矩陣A與B合同,即存在可逆矩陣C使CTAC=B,要實現(xiàn)這一點,關鍵是二次型xTAx與xTBx的正、負慣性指數是否相同,而A與B相似是指有可逆矩陣P使P-1AP=B成立,進而知A與B有相同的特征值,如果特征值相同可知正、負慣性指數相同,但正負慣性指數相同時,并不能保證特征值相同,因此,實對稱矩陣A~BAB,即相似是合同的充分條件。
線性代數中運算法則多,應整理清楚不要混淆,基本運算與基本方法要過關,重要的有:行列式(數字型、字母型)的計算,求逆矩陣,求矩陣的秩,求方陣的冪,求向量組的秩與極大線性無關組,線性相關的判定或求參數,求基礎解系,求非齊次線性方程組的通解,求特征值與特征向量(定義法,特征多項式基礎解系法),判斷與求相似對角矩陣,用正交變換化實對稱矩陣為對角矩陣(亦即用正交變換化二次型為標準形)。
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