談?wù)摽佳袛?shù)學(xué)極限_跨考網(wǎng)

在英文里，limit（極限）通常指一條不能超越的邊界或界限。在數(shù)學(xué)里，當(dāng)函數(shù)的x逐漸趨近某個(gè)定值時(shí)，該函數(shù)的值也會(huì)逐漸趨近某個(gè)值，這個(gè)值就是函數(shù)的“極限”。

再舉一個(gè)例子，如果你有一尺長(zhǎng)的金條，每個(gè)上你家來(lái)的人你都要把手里剩下的金條的1/2分給他，當(dāng)然先來(lái)的人占便宜，分到的金條比后來(lái)的人多啊。如果全中國(guó)13億人都上你家來(lái)，你想想，最后你手里的金條還能剩下多少？可能要用顯微鏡來(lái)看才能看到了，用數(shù)學(xué)的話說(shuō)，當(dāng)?shù)侥慵襾?lái)的人數(shù)n趨于無(wú)窮大時(shí)，你手里的金條長(zhǎng)度趨于0.

寫(xiě)成數(shù)列的形式就是： ，取極限。

另外一個(gè)例子，假設(shè)你讓鼻子向電風(fēng)扇靠攏過(guò)去，可以設(shè)你的鼻尖位置在x，電風(fēng)扇的位置在3（即分別離原點(diǎn)x米和3米），我們想知道，當(dāng)x非常接近3時(shí)，會(huì)發(fā)生什么事——也就是說(shuō)，當(dāng)你的鼻尖朝3靠近，而且越來(lái)越靠近，但絕對(duì)不要真正到達(dá)3，這樣后果很嚴(yán)重。會(huì)發(fā)生的事只是，當(dāng)你的鼻尖的位置x離3越來(lái)越近，電風(fēng)扇吹到你臉上的風(fēng)越來(lái)越強(qiáng)。所以我們的興趣在于，當(dāng)你的鼻子接近3時(shí)，你感受到的風(fēng)的強(qiáng)度變化（我們要取，其中的f（x）就是你的鼻子在點(diǎn)x時(shí)，所感受到的風(fēng)的強(qiáng)度）。

假設(shè)當(dāng)x＝2.9，你感受到的風(fēng)速是6公里/小時(shí)，那么當(dāng)鼻子向風(fēng)扇移近，風(fēng)速如下表變化：

從這些數(shù)據(jù)來(lái)看，鼻子逐漸靠近風(fēng)扇時(shí)，風(fēng)速就會(huì)逐漸趨近于7公里/小時(shí)，因此我們可以寫(xiě)成 ? ?＝7。這個(gè)值和x＝3時(shí)的f（x）的值無(wú)關(guān)，只取決于x趨于3的那些函數(shù)值（誰(shuí)也不想看到x＝3時(shí)你的鼻子的慘狀）。

對(duì)大多數(shù)函數(shù)來(lái)說(shuō)，取極限的過(guò)程很平常，比如像多項(xiàng)式，在x趨于a時(shí)的極限就是，直接把a(bǔ)帶入x就可以了。

如果每個(gè)函數(shù)的極限都這么簡(jiǎn)單就好了，但我們通常會(huì)遇到一些“問(wèn)題函數(shù)”。如極限：。當(dāng)x逐漸靠近1時(shí)，x -1就會(huì)變得非常小，當(dāng)1除以一個(gè)非常非常小的數(shù)時(shí)，得到的是一個(gè)非常非常大的數(shù)（比任何實(shí)數(shù)都要大），我們稱之為無(wú)窮大，用一個(gè)睡覺(jué)的8表示：∞。

所以當(dāng)x趨近于1時(shí)，趨近于∞.不過(guò)由于∞不能算是一個(gè)真正的數(shù)，所以我們說(shuō)“該極限不存在”。

除此之外，我們還會(huì)遇上其他不存在的極限，如：。當(dāng)x變得越來(lái)越小，就越來(lái)越大，但永遠(yuǎn)介于-1跟1之間，因?yàn)槿魏我粋€(gè)數(shù)的正弦值都不會(huì)超出-1到1的范圍。因此，當(dāng)越來(lái)越大，只是在-1跟1之間來(lái)回振蕩，而且越來(lái)越快，越來(lái)越瘋狂，最重要的一個(gè)特點(diǎn)是，它不會(huì)漸漸靠近任何一個(gè)數(shù)。 所以，它沒(méi)有極限。

我們可以把“有極限”這回事，想成是函數(shù)f（x）愛(ài)上了一個(gè)數(shù)，當(dāng)自變量x無(wú)限靠近某一個(gè)數(shù)時(shí)，f（x）對(duì)這個(gè)數(shù)的感情就越深（趨近）。但是顯然用情不專，它不愿定情于一點(diǎn)，永遠(yuǎn)在-1跟1之間搖擺不定，所以到最后，落到?jīng)]有極限的下場(chǎng)，無(wú)法與誰(shuí)共結(jié)連理。