2020考研須知數(shù)學公式定理：中值定理

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　　2019研究生入學考試的筆試也落下了帷幕，對于想要參加2020考研的小伙伴們來說，也開始投入了戰(zhàn)斗，考研備考開始的時間有的早有的晚，有些基礎不太好或者需要沖刺名校的考生會選擇大三上學期甚至更早就開始準備。而現(xiàn)階段，基礎復習是時候開始進行了，下面小編整理了2020考研數(shù)學高等數(shù)學考前須知的公式定理，供大家參考!

　　中值定理與導數(shù)的應用

　　1、定理(羅爾定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，且在區(qū)間端點的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，那么在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點ξ(a

　　2、定理(拉格朗日中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，那么在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點ξ(a

　　3、定理(柯西中值定理)如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，且F’(x)在(a，b)內(nèi)的每一點處均不為零，那么在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點ξ，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立。

　　4、洛必達法則應用條件只能用與未定型諸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞0等形式。

　　5、函數(shù)單調性的判定法設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，那么：(1)如果在(a，b)內(nèi)f’(x)>0，那么函數(shù)f(x)在[a，b]上單調增加;(2)如果在(a，b)內(nèi)f’(x)

　　如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，除去有限個導數(shù)不存在的點外導數(shù)存在且連續(xù)，那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的點來劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間，就能保證f’(x)在各個部分區(qū)間內(nèi)保持固定符號，因而函數(shù)f(x)在每個部分區(qū)間上單調。

　　6、函數(shù)的極值如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有定義，x0是(a，b)內(nèi)的一個點，如果存在著點x0的一個去心鄰域，對于這去心鄰域內(nèi)的任何點x，f(x)f(x0)均成立，就稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值。

　　在函數(shù)取得極值處，曲線上的切線是水平的，但曲線上有水平曲線的地方，函數(shù)不一定取得極值，即可導函數(shù)的極值點必定是它的駐點(導數(shù)為0的點)，但函數(shù)的駐點卻不一定是極值點。

　　定理(函數(shù)取得極值的必要條件)設函數(shù)f(x)在x0處可導，且在x0處取得極值，那么函數(shù)在x0的導數(shù)為零，即f’(x0)=0.定理(函數(shù)取得極值的第一種充分條件)設函數(shù)f(x)在x0一個鄰域內(nèi)可導，且f’(x0)=0，那么：(1)如果當x取x0左側臨近的值時，f’(x)恒為正;當x去x0右側臨近的值時，f’(x)恒為負，那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值;(2)如果當x取x0左側臨近的值時，f’(x)恒為負;當x去x0右側臨近的值時，f’(x)恒為正，那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值;(3)如果當x取x0左右兩側臨近的值時，f’(x)恒為正或恒為負，那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值。

　　定理(函數(shù)取得極值的第二種充分條件)設函數(shù)f(x)在x0處具有二階導數(shù)且f’(x0)=0，f’’(x0)≠0那么：(1)當f’’(x0)0時，函數(shù)f(x)在x0處取得極小值;駐點有可能是極值點，不是駐點也有可能是極值點。

　　7、函數(shù)的凹凸性及其判定設f(x)在區(qū)間Ix上連續(xù)，如果對任意兩點x1，x2恒有f[(x1+x2)/2][f(x1)+f(x1)]/2，那么稱f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凸的。

　　定理設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)具有一階和二階導數(shù)，那么(1)若在(a，b)內(nèi)f’’(x)>0，則f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖形是凹的;(2)若在(a，b)內(nèi)f’’(x)

　　判斷曲線拐點(凹凸分界點)的步驟(1)求出f’’(x);(2)令f’’(x)=0，解出這方程在區(qū)間(a，b)內(nèi)的實根;(3)對于(2)中解出的每一個實根x0，檢查f’’(x)在x0左右兩側鄰近的符號，如果f’’(x)在x0左右兩側鄰近分別保持一定的符號，那么當兩側的符號相反時，點(x0，f(x0))是拐點，當兩側的符號相同時，點(x0，f(x0))不是拐點。

　　在做函數(shù)圖形的時候，如果函數(shù)有間斷點或導數(shù)不存在的點，這些點也要作為分點。