2018考研數(shù)學高數(shù)知識點:微分中值定理
數(shù)學復(fù)習:2018考研數(shù)學復(fù)習指導(dǎo)攻略(全)
考研數(shù)學在考試中所占比例比較大,是考試復(fù)習的重點內(nèi)容,2018年考研的同學一定要對這部分知識必須“吃懂”、“吃透”,以下是跨考網(wǎng)老師為大家整理的:2018考研數(shù)學高數(shù)知識點:微分中值定理,希望對大家的復(fù)習有所幫助。
這一部分內(nèi)容比較豐富,包括費馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外,其它定理要求會證。
費馬引理的條件有兩個:1.f'(x0)存在2.f(x0)為f(x)的極值,結(jié)論為f'(x0)=0。考慮函數(shù)在一點的導(dǎo)數(shù),用什么方法?自然想到導(dǎo)數(shù)定義。我們可以按照導(dǎo)數(shù)定義寫出f'(x0)的極限形式。往下如何推理?關(guān)鍵要看第二個條件怎么用。“f(x0)為f(x)的極值”翻譯成數(shù)學語言即f(x)-f(x0)<0(或>0),對x0的某去心鄰域成立。結(jié)合導(dǎo)數(shù)定義式中函數(shù)部分表達式,不難想到考慮函數(shù)部分的正負號。若能得出函數(shù)部分的符號,如何得到極限值的符號呢?極限的保號性是個橋梁。
費馬引理中的“引理”包含著引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我們下面要討論的羅爾定理。若在微分中值定理這部分推舉一個考頻最高的,那羅爾定理當之無愧。該定理的條件和結(jié)論想必各位都比較熟悉。條件有三:“閉區(qū)間連續(xù)”、“開區(qū)間可導(dǎo)”和“端值相等”,結(jié)論是在開區(qū)間存在一點(即所謂的中值),使得函數(shù)在該點的導(dǎo)數(shù)為0。
該定理的證明不好理解,需認真體會:條件怎么用?如何和結(jié)論建立聯(lián)系?當然,我們現(xiàn)在討論該定理的證明是“馬后炮”式的:已經(jīng)有了證明過程,我們看看怎么去理解掌握。如果在羅爾生活的時代,證出該定理,那可是十足的創(chuàng)新,是要流芳百世的。
閑言少敘,言歸正傳。既然我們討論費馬引理的作用是要引出羅爾定理,那么羅爾定理的證明過程中就要用到費馬引理。我們對比這兩個定理的結(jié)論,不難發(fā)現(xiàn)是一致的:都是函數(shù)在一點的導(dǎo)數(shù)為0。話說到這,可能有同學要說:羅爾定理的證明并不難呀,由費馬引理得結(jié)論不就行了。大方向?qū)Γ^程沒這么簡單。起碼要說清一點:費馬引理的條件是否滿足,為什么滿足?
前面提過費馬引理的條件有兩個——“可導(dǎo)”和“取極值”,“可導(dǎo)”不難判斷是成立的,那么“取極值”呢?似乎不能由條件直接得到。那么我們看看哪個條件可能和極值產(chǎn)生聯(lián)系。注意到羅爾定理的第一個條件是函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)。我們知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有很好的性質(zhì),哪條性質(zhì)和極值有聯(lián)系呢?不難想到最值定理。
那么最值和極值是什么關(guān)系?這個點需要想清楚,因為直接影響下面推理的走向。結(jié)論是:若最值取在區(qū)間內(nèi)部,則最值為極值;若最值均取在區(qū)間端點,則最值不為極值。那么接下來,分兩種情況討論即可:若最值取在區(qū)間內(nèi)部,此種情況下費馬引理條件完全成立,不難得出結(jié)論;若最值均取在區(qū)間端點,注意到已知條件第三條告訴我們端點函數(shù)值相等,由此推出函數(shù)在整個閉區(qū)間上的最大值和最小值相等,這意味著函數(shù)在整個區(qū)間的表達式恒為常數(shù),那在開區(qū)間上任取一點都能使結(jié)論成立。
拉格朗日定理和柯西定理是用羅爾定理證出來的。掌握這兩個定理的證明有一箭雙雕的效果:真題中直接考過拉格朗日定理的證明,若再考這些原定理,那自然駕輕就熟;此外,這兩個的定理的證明過程中體現(xiàn)出來的基本思路,適用于證其它結(jié)論。
以拉格朗日定理的證明為例,既然用羅爾定理證,那我們對比一下兩個定理的結(jié)論。羅爾定理的結(jié)論等號右側(cè)為零。我們可以考慮在草稿紙上對拉格朗日定理的結(jié)論作變形,變成羅爾定理結(jié)論的形式,移項即可。接下來,要從變形后的式子讀出是對哪個函數(shù)用羅爾定理的結(jié)果。這就是構(gòu)造輔助函數(shù)的過程——看等號左側(cè)的式子是哪個函數(shù)求導(dǎo)后,把x換成中值的結(jié)果。這個過程有點像犯罪現(xiàn)場調(diào)查:根據(jù)這個犯罪現(xiàn)場,反推嫌疑人是誰。當然,構(gòu)造輔助函數(shù)遠比破案要簡單,簡單的題目直接觀察;復(fù)雜一些的,可以把中值換成x,再對得到的函數(shù)求不定積分。
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