2018考研數(shù)學(xué):高等數(shù)學(xué)七大中值定理梳理
數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):2018考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)攻略(全)
考研數(shù)學(xué)在考試中所占比例比較大,是考試復(fù)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容,2018年考研的同學(xué)一定要對(duì)這部分知識(shí)必須“吃懂”、“吃透”,以下是跨考網(wǎng)老師為大家整理的:2018考研數(shù)學(xué):高等數(shù)學(xué)七大中值定理梳理,希望對(duì)大家的復(fù)習(xí)有所幫助。
學(xué)生在看到題目時(shí),往往會(huì)知道使用某個(gè)中值定理,因?yàn)檫@些問題有個(gè)很明顯的特征—含有某個(gè)中值。關(guān)鍵在于是對(duì)哪個(gè)函數(shù)在哪個(gè)區(qū)間上使用哪個(gè)中值定理。
1、使用零點(diǎn)定理問題的基本格式是“證明方程f(x)=0在a,b之間有一個(gè)(或者只有一個(gè))根”。從題目中我們一目了然,應(yīng)當(dāng)是對(duì)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)使用零點(diǎn)定理。應(yīng)當(dāng)注意的是零點(diǎn)定理只能說明零點(diǎn)在某個(gè)開區(qū)間內(nèi),當(dāng)要求說明根在某個(gè)閉區(qū)間或者半開半閉區(qū)間內(nèi)時(shí),需要對(duì)這些端點(diǎn)做例外說明。
2、介值定理問題可以化為零點(diǎn)定理問題,也可以直接說明,如“證明在(a,b)內(nèi)存在ξ,使得f(ξ)=c”,僅需要說明函數(shù)f(x)在[a,b]內(nèi)連續(xù),以及c位于f(x)在區(qū)間[a,b]的值域內(nèi)。
3、用微分中值定理說明的問題中,有兩個(gè)主要特征:含有某個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(甚至是高階導(dǎo)數(shù))、含有中值(也可能有多個(gè)中值)。應(yīng)用微分中值定理主要難點(diǎn)在于構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)。在微分中值定理證明問題時(shí),需要注意下面幾點(diǎn):
(1)當(dāng)問題的結(jié)論中出現(xiàn)一個(gè)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)與一個(gè)中值時(shí),肯定是對(duì)某個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)使用羅爾定理或者拉格朗日中值定理;
(2)當(dāng)出現(xiàn)多個(gè)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)與一個(gè)中值時(shí),使用柯西中值定理,此時(shí)找到函數(shù)是最主要的;
(3)當(dāng)出現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)時(shí),通常歸結(jié)為兩種方法,對(duì)低一階的導(dǎo)函數(shù)使用三大微分中值定理、或者使用泰勒定理說明;
(4)當(dāng)出現(xiàn)多個(gè)中值點(diǎn)時(shí),應(yīng)當(dāng)使用多次中值定理,在更多情況下,由于要求中值點(diǎn)不一樣,需要注意區(qū)間的選擇,兩次使用中值定理的區(qū)間應(yīng)當(dāng)不同;
(5)使用微分中值定理的難點(diǎn)在于如何構(gòu)造函數(shù),如何選擇區(qū)間。對(duì)此我的體會(huì)是應(yīng)當(dāng)從需要證明的結(jié)論入手,對(duì)結(jié)論進(jìn)行分析。我們總感覺證明題無從下手,我認(rèn)為證明題其實(shí)不難,因?yàn)樽C明題的結(jié)論其實(shí)是對(duì)你的提示,只要從證明結(jié)論入手,逐步分析,必然會(huì)找到證明方法。
4、積分中值定理其實(shí)是微分中值定理的推廣,對(duì)變上限函數(shù)使用微分中值定理或者泰勒定理就可以得到積分中值定理甚至類似于泰勒定理的形式。因此看到有積分形式,并且?guī)в兄兄档淖C明題時(shí),一定是對(duì)某個(gè)變上限積分在某點(diǎn)處展開為泰勒展開式或者直接使用積分中值定理。當(dāng)證明結(jié)論中僅有積分與被積函數(shù)本身時(shí),一般使用積分中值定理;當(dāng)結(jié)論中有積分與被積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí),一般需要展開變上限積分為泰勒展開式。
零點(diǎn)定理與介值定理屬于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。三大中值定理與泰勒定理同屬于微分中值定理,并且所包含的內(nèi)容遞進(jìn)。積分中值定理屬于積分范疇,但其實(shí)也是微分中值定理的推廣。
小編說:有事沒事考個(gè)研,現(xiàn)在投資自己,10年之后就不會(huì)掙扎在5k左右的工資,不會(huì)被訓(xùn)練的為不到1k的調(diào)薪就覺得應(yīng)該歡呼,不會(huì)看著年輕人如何時(shí)間自主的文章而興嘆,也不會(huì)將出國游的計(jì)劃一再被擱置...沒有出社會(huì)的人總覺得工作很容易,月薪過萬就是應(yīng)該,可骨感的現(xiàn)實(shí)告訴你,高學(xué)歷的人往往更容易更快的實(shí)現(xiàn)月薪過萬?。「淖?,就從你加入秋季集訓(xùn)營開始!2018考研大綱發(fā)布 新增考點(diǎn)名師解讀 取經(jīng)明星學(xué)長 預(yù)約免費(fèi)試聽
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