考研數(shù)學(xué)無(wú)窮級(jí)數(shù)之冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法

　　數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):2018考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)攻略(全)

　　考研數(shù)學(xué)在考試中所占比例比較大，是考試復(fù)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容，2018年考研的同學(xué)一定要對(duì)這部分知識(shí)必須“吃懂”、“吃透”，以下是跨考網(wǎng)老師為大家整理的：考研數(shù)學(xué)無(wú)窮級(jí)數(shù)之冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法，希望對(duì)大家的復(fù)習(xí)有所幫助。

　　1、等差數(shù)列

　　2、等比數(shù)列

　　這個(gè)你是知道的。。。當(dāng)時(shí)解決N項(xiàng)數(shù)列和的公式你一定是記得的!1、等差數(shù)列Sn=n(a1+an)/2 或Sn=[2na1+n(n-1)d]/2 注：an=a1+(n-1)d

　　轉(zhuǎn)換過(guò)程：Sn=n(a1+an)/2=n{a1+[a1+(n-1)d]}/2=n[2a1+(n-1)d]/2=[2na1+n(n-1)d]/2

　　2、等比數(shù)列Sn=n*a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) (n為比值，a為項(xiàng)數(shù))

　　你知道這兩個(gè)就證明冪級(jí)數(shù)你學(xué)是一點(diǎn)問(wèn)題都沒(méi)有了(高數(shù)上你高懂的情況下)

　　那現(xiàn)在問(wèn)題是你不知道為什么要逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分了!

　　聽(tīng)好了，以前初等數(shù)學(xué)就是用一些初等變換去對(duì)式子變形——比如把原式變成兩個(gè)等比或者等差數(shù)列，然后用等比等差數(shù)列求和公式求出原式的N項(xiàng)和。

　　現(xiàn)在高等數(shù)學(xué)就不好搞了，就不能用一些初等變換(比如分母有理化，比如分子加一減一等等)的方式去分成幾項(xiàng)有規(guī)律的數(shù)列了，那么，我們現(xiàn)在怎么辦?要回到高中我們就只有求神了。但是，當(dāng)我們現(xiàn)在學(xué)了高等數(shù)學(xué)后，我們就可以通過(guò)求導(dǎo)或者積分的方式把他變成我們所了解的等比和等差數(shù)列了，那多爽，是吧!通過(guò)求導(dǎo)就回到高中!

　　不要去想什么逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分亂七八糟的，其實(shí)就是對(duì)通項(xiàng)求導(dǎo)或者積分。

　　先說(shuō)求導(dǎo)：目的就是把我們不論用初等數(shù)學(xué)怎么變化都不能變成等比數(shù)列的式子變成等比數(shù)列!

　　注意觀察：例如：S(X)=∑(2~無(wú)窮){[(-1)^n][x^(n-1)]/n-1}這個(gè)式子你用高中的方法去分成幾項(xiàng)等比數(shù)列嘛，你一定會(huì)很悲劇的。通過(guò)觀察：求一次導(dǎo)x^(n-1)的導(dǎo)數(shù)不就是(n-1)[x^(n-2)],分子的n-1不是可以和分母的n-1約掉啊!( 注意了哈：逐項(xiàng)求導(dǎo)說(shuō)的十分猥瑣，其實(shí)就是對(duì)∑(2~無(wú)窮){[(-1)^n][x^(n-1)]/n-1} 求導(dǎo) ) 求導(dǎo)你要這樣想n是常數(shù)，X是變量，對(duì)X求導(dǎo)(其實(shí)N就是常數(shù)，我怕你搞錯(cuò)了，我現(xiàn)在沒(méi)有辦法知道你的基礎(chǔ)，所以當(dāng)高中生在教)。求導(dǎo)以后的數(shù)列變成∑(2~無(wú)窮){[(-1)^n][x^(n-2)]， 求了導(dǎo)之后你展開(kāi)：把N=2帶進(jìn)去等于1 把N等于3帶進(jìn)去等于(-X) 把N等于4帶進(jìn)去等于(X^2) 把5帶進(jìn)去等于(-x^3).......發(fā)現(xiàn)沒(méi)有，求導(dǎo)之后的通項(xiàng)居然是個(gè) q=(-x) a1=1 的等比數(shù)列!那我們的目的達(dá)到了!這個(gè)等比數(shù)列的求和公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q) 得：1/(1+x) |x|<1才收斂哈!不然考試不寫(xiě)|x|<1要扣粉的哈!求導(dǎo)之后的通項(xiàng)的和我們求到了 1/(1+x) |x|<1 那是不是我們要積分一次才是原來(lái)的題目啊!求導(dǎo)和積分是逆運(yùn)算的嘛!S(X)=S(0)+ 1/(1+T)求積分(從0到X)=ln(1+x) |x|<1

　　其實(shí)求導(dǎo)的目的就是把式子變成我們可以處理的等比數(shù)列，再求和，最后把和積分回來(lái)就對(duì)了，說(shuō)的這樣深邃!

　　再說(shuō)為什么要積分：目的還是把式子變成我們可以處理的等比數(shù)列!什么逐項(xiàng)積分!說(shuō)的太猥瑣了，其實(shí)就是對(duì)通項(xiàng)積分，把式子能展開(kāi)成等比數(shù)列就對(duì)了!NND不說(shuō)猥瑣點(diǎn)難道就體現(xiàn)不出編教材的人的水平嗎? 看著啊，我現(xiàn)在就按照同濟(jì)教材的立體為例子：給你玩一下：∑(1~無(wú)窮) n(x^n-1)

　　解：S(x)=∑(1~無(wú)窮) n(x^n-1) 的和函數(shù)仔細(xì)觀察：(x^n-1)積分是不是分母出現(xiàn)了n ,正好和分子的n越掉。直接對(duì))∑(1~無(wú)窮) n(x^n-1) 積分哈~~~不要考慮什么逐項(xiàng)積分，從此你就當(dāng)沒(méi)有聽(tīng)過(guò)逐項(xiàng)積分這種說(shuō)法。積分后就變成 ∑(x^n)，原式是沒(méi)有辦法處理的，但是有了這個(gè)式子之后，展開(kāi)把N=(1、2、3、4。。。。)帶入就發(fā)現(xiàn)是個(gè)很標(biāo)準(zhǔn)的q=x的等比數(shù)列了。這個(gè)等比數(shù)列求和為：x/(1-x)。 x/(1-x)是積分后的和哈，那要求原來(lái)的和簡(jiǎn)單嘛，求一次導(dǎo)就對(duì)了：1/[1-x)^2]

　　總結(jié)：原式我不能處理怎么辦，求導(dǎo)或者積分后變成等比數(shù)列，我求和，求完了積分或者求導(dǎo)回去就對(duì)了!

　　注意：不光是處理成等比數(shù)列!那是在高中!現(xiàn)在給你增加幾個(gè)數(shù)列!說(shuō)白了，你只要通過(guò)求導(dǎo)或者積分后變成這些數(shù)列都是可以求和的，記得再變回去!e^x

　　= 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+... ln(1+x)= x-x^2/3+x^3/3-...(-1)^(k-1)*x^k/k+... (|x|<1) sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+... (-∞

　　求導(dǎo)或者積分后你要展開(kāi)觀察是什么數(shù)列，只要是等號(hào)右邊的東西，你就直接得到他的和是等號(hào)左邊了，再記得變回去!

　　什么逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分，太惡心了!以后等你搞傅里級(jí)數(shù)的時(shí)候還有一些書(shū)上寫(xiě)的多深邃，其實(shí)簡(jiǎn)單的初中生都能搞的明白的東西。。。。書(shū)上寫(xiě)的巨惡心，其實(shí)就是三角變換一次，一次不行就兩次。。。。。 lim(n->無(wú)窮) [a1(1-q^n)/(1-q) =lim(n->無(wú)窮) {[a1/(1-q)]-a1(q^n)/(1-q)} 因?yàn)楫?dāng)|q|<1時(shí) lim(n->無(wú)窮)(q^n)=0 所以lim(n->無(wú)窮) [a1(1-q^n)/(1-q)=a1/(1-q