考研數(shù)學(xué):高數(shù)定理定義匯總(第6-8章)
考研數(shù)學(xué):高數(shù)定理定義匯總(第6-8章)
在暑期完成第一輪基礎(chǔ)考點(diǎn)的復(fù)習(xí)之后,9月份開(kāi)始需要對(duì)考研數(shù)學(xué)所考的定理定義進(jìn)行必要的匯總??缈冀逃龜?shù)學(xué)教研室李老師特意為考生整理了高數(shù)定理定義匯總。本文內(nèi)容為第6-8章。
第六章 定積分的應(yīng)用
求平面圖形的面積(曲線圍成的面積)
直角坐標(biāo)系下(含參數(shù)與不含參數(shù))
極坐標(biāo)系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面積公式S=R2θ/2)
旋轉(zhuǎn)體體積(由連續(xù)曲線、直線及坐標(biāo)軸所圍成的面積繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)而成)(且體積V=∫abπ[f(x)]2dx,其中f(x)指曲線的方程)
平行截面面積為已知的立體體積(V=∫abA(x)dx,其中A(x)為截面面積)
功、水壓力、引力
函數(shù)的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)
第七章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用
1、多元函數(shù)極限存在的條件極限存在是指P(x,y)以任何方式趨于P0(x0,y0)時(shí),函數(shù)都無(wú)限接近于A,如果P(x,y)以某一特殊方式,例如沿著一條定直線或定曲線趨于P0(x0,y0)時(shí),即使函數(shù)無(wú)限接近某一確定值,我們還不能由此斷定函數(shù)極限存在。反過(guò)來(lái),如果當(dāng)P(x,y)以不同方式趨于P0(x0,y0)時(shí),函數(shù)趨于不同的值,那么就可以斷定這函數(shù)的極限不存在。例如函數(shù):f(x,y)={0(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^2≠0
2、多元函數(shù)的連續(xù)性定義設(shè)函數(shù)f(x,y)在開(kāi)區(qū)域(或閉區(qū)域)D內(nèi)有定義,P0(x0,y0)是D的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)且P0∈D,如果lim(x→x0,y→y0)f(x,y)=f(x0,y0)則稱f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)連續(xù)。
性質(zhì)(最大值和最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù),在D上一定有最大值和最小值。
性質(zhì)(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù),如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值,則它在D上取得介于這兩個(gè)值之間的任何值至少一次。
3、多元函數(shù)的連續(xù)與可導(dǎo)如果一元函數(shù)在某點(diǎn)具有導(dǎo)數(shù),則它在該點(diǎn)必定連續(xù),但對(duì)于多元函數(shù)來(lái)說(shuō),即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在,也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。這是因?yàn)楦髌珜?dǎo)數(shù)存在只能保證點(diǎn)P沿著平行于坐標(biāo)軸的方向趨于P0時(shí),函數(shù)值f(P)趨于f(P0),但不能保證點(diǎn)P按任何方式趨于P0時(shí),函數(shù)值f(P)都趨于f(P0)。
4、多元函數(shù)可微的必要條件一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在是微分存在的充分必要條件,但多元函數(shù)各偏導(dǎo)數(shù)存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件,即可微=>可偏導(dǎo)。
5、多元函數(shù)可微的充分條件定理(充分條件)如果函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)存在且在點(diǎn)(x,y)連續(xù),則函數(shù)在該點(diǎn)可微分。
6.多元函數(shù)極值存在的必要、充分條件定理(必要條件)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)具有偏導(dǎo)數(shù),且在點(diǎn)(x0,y0)處有極值,則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必為零。
定理(充分條件)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),又fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0,令fxx(x0,y0)=0=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C,則f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處是否取得極值的條件如下:(1)AC-B2>0時(shí)具有極值,且當(dāng)A<0時(shí)有極大值,當(dāng)a>0時(shí)有極小值;(2)AC-B2<0時(shí)沒(méi)有極值;(3)AC-B2=0時(shí)可能有也可能沒(méi)有。
7、多元函數(shù)極值存在的解法(1)解方程組fx(x,y)=0,fy(x,y)=0求的一切實(shí)數(shù)解,即可求得一切駐點(diǎn)。
(2)對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)(x0,y0),求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B、C.(3)定出AC-B2的符號(hào),按充分條件進(jìn)行判定f(x0,y0)是否是極大值、極小值。
注意:在考慮函數(shù)的極值問(wèn)題時(shí),除了考慮函數(shù)的駐點(diǎn)外,如果有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),那么對(duì)這些點(diǎn)也應(yīng)當(dāng)考慮在內(nèi)。
第八章 二重積分
1、二重積分的一些應(yīng)用曲頂柱體的體積曲面的面積(A=∫∫√[1+f2x(x,y)+f2y(x,y)]dσ)
平面薄片的質(zhì)量平面薄片的重心坐標(biāo)(x=1/A∫∫xdσ,y=1/A∫∫ydσ;其中A=∫∫dσ為閉區(qū)域D的面積。
平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(Ix=∫∫y2ρ(x,y)dσ,Iy=∫∫x2ρ(x,y)dσ;其中ρ(x,y)為在點(diǎn)(x,y)處的密度。
平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力(FxFyFz)
2、二重積分存在的條件當(dāng)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)時(shí),極限存在,故函數(shù)f(x,y)在D上的二重積分必定存在。
3、二重積分的一些重要性質(zhì)性質(zhì)如果在D上,f(x,y)≤ψ(x,y),則有不等式∫∫f(x,y)dxdy≤∫∫ψ(x,y)dxdy,特殊地由于-|f(x,y)|≤f(x,y)≤|f(x,y)|又有不等式|∫∫f(x,y)dxdy|≤∫∫|f(x,y)|dxdy.性質(zhì)設(shè)M,m分別是f(x,y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值,σ是D的面積,則有mσ≤∫∫f(x,y)dσ≤Mσ。
性質(zhì)(二重積分的中值定理)設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù),σ是D的面積,則在D上至少存在一點(diǎn)(ξ,η)使得下式成立:∫∫f(x,y)dσ=f(ξ,η)*σ4、二重積分中標(biāo)量在直角與極坐標(biāo)系中的轉(zhuǎn)換把二重積分從直角坐標(biāo)系換為極坐標(biāo)系,只要把被積函數(shù)中的x,y分別換成ycosθ、rsinθ,并把直角坐標(biāo)系中的面積元素dxd。
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