2016考研高等數(shù)學(xué)重難點(diǎn)梳理

　　2016考研高等數(shù)學(xué)重難點(diǎn)梳理

　　劉緯宇——數(shù)學(xué)教研室

　　新考研大綱如約而至。對考生而言，關(guān)注點(diǎn)應(yīng)從對考綱的關(guān)注轉(zhuǎn)到如何更有效地復(fù)習(xí)上。筆者作為奮戰(zhàn)在教學(xué)一線的數(shù)學(xué)老師，考慮到這階段的同學(xué)已經(jīng)歷了基礎(chǔ)階段和暑期的復(fù)習(xí)，已具備一定基礎(chǔ)，也對真題中的題型有一定了解，但未必形成知識體系，重難點(diǎn)也未必完全把握。所以，借助此次與廣大考生交流的機(jī)會，梳理高等數(shù)學(xué)中的重難點(diǎn)，以期給正在全力攀登的考生搭一把手。

　　專題一 極限

　　考試對極限的考察以計(jì)算為主。下面我們梳理一下極限計(jì)算的方法。

　　1. 四則運(yùn)算

　　此法可簡要概括為“若極限式中每一部分(和差式中的每一項(xiàng)或乘除式的每個(gè)因子)的極限存在，則和的極限等于極限的和，差的極限等于極限的差，乘積的極限等于極限的乘積，商的極限等于極限的商(分母不為零)”。

　　而在實(shí)際做題過程中，我們往往不容易觀察出每一部分的極限都存在，而是只觀察出一部分的極限存在，這時(shí)能否利用四則運(yùn)算法則往下寫呢?我們需分成加和乘(減看成特殊的加，除看成特殊的乘)兩種運(yùn)算討論：兩個(gè)函數(shù)相加，取極限，若能觀察出一項(xiàng)的極限存在，若另一項(xiàng)的極限存在，則由四則運(yùn)算法則，和的極限等于極限的和，可以往下算;若另一項(xiàng)的極限不存在，可以證明(用反證法)整個(gè)極限不存在，也即“收斂+發(fā)散=發(fā)散”，而這種情況在真題中的極限計(jì)算題中還未出現(xiàn)過。綜上，兩個(gè)函數(shù)相加取極限，只要一項(xiàng)極限存在，就可以放心大膽地、一馬平川地往下算。萬一另一項(xiàng)的極限不存在呢?那回答整個(gè)極限不存在即可。下面討論乘的情況，兩個(gè)函數(shù)相乘取極限，若一個(gè)函數(shù)的極限存在，那得追問一句：極限值是否為0?若為0，則不能把該函數(shù)的極限算出(因?yàn)榭赡艹霈F(xiàn)“0乘無窮”這種未定式);若極限值不為0，則后面的討論類似于加的情況。

　　2. 洛必達(dá)法則

　　洛必達(dá)法則知名度很高。提起極限計(jì)算的方法，有同學(xué)別的方法想不起來，唯獨(dú)對洛必達(dá)念念不忘，可謂情有獨(dú)鐘。到了這個(gè)階段，對于此法，首先要注意條件。洛必達(dá)法則有三個(gè)條件：1)0分之0或無窮分之無窮型;2)分子、分母在一個(gè)范圍(若極限過程為x趨近于一點(diǎn)，則“局部”為該點(diǎn)的某去心鄰域)可導(dǎo);3)分子、分母分別求導(dǎo)后的極限存在。具體函數(shù)僅判斷第1)條一般不會出問題，因?yàn)榈?)、3)條在多數(shù)情況下成立。但對抽象函數(shù)的極限問題要小心，可不可導(dǎo)，連不連續(xù)對洛必達(dá)法則的運(yùn)用都有影響。此外，泰勒公式以強(qiáng)大著稱，但有一種情況不得不請出不那么強(qiáng)大的洛必達(dá)法則幫忙，誰這么大牌?原來是含有變限積分的極限。一般得借助洛必達(dá)法則削去積分號。

　　3. 等價(jià)無窮小替換

　　這種方法大家都比較熟悉。首先要記住常見的等價(jià)無窮小替換公式。接下來就是廣義化的思想方法(如x趨于0時(shí)，sinx等價(jià)于x，那么x的位置換成趨近于0的函數(shù)行不行?行!這就是廣義化的思想)。再者，等價(jià)無窮小替換常在洛必達(dá)法則之前用，這樣可以簡化洛必達(dá)法則中的求導(dǎo)運(yùn)算。注意，易錯(cuò)點(diǎn)是只有整個(gè)極限式的乘除因子才能替換。

　　4. 泰勒公式

　　泰勒公式可以說是計(jì)算極限的最強(qiáng)大的武器。有同學(xué)戲稱“一把泰勒走天下，洛必達(dá)之類都是浮云”。確有幾分道理。該公式有兩種形式：帶皮亞諾余項(xiàng)的公式和帶拉格朗日余項(xiàng)的公式。前者用來算極限，后者用來證明。

　　算極限首先應(yīng)記清8個(gè)常用的泰勒公式(exp(x),sinx,cosx,arcsinx,tanx,arctanx,

　　ln(1+x),(1+x)^a在0點(diǎn)展開的泰勒公式)，接下來就是帶入、化簡計(jì)算的功夫了。泰勒公式展示其威力的場合還有抽象函數(shù)。有一個(gè)信號會提示我們考慮泰勒公式，即題目中出現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)(二階及以上階數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù))。

　　5. 冪指型函數(shù)的處理

　　冪指型函數(shù)是指底數(shù)位置和指數(shù)位置都有自變量的函數(shù)。此類函數(shù)在考試中可能讓我們求極限或求導(dǎo)數(shù)。處理該類函數(shù)問題有萬能的一招：指數(shù)對數(shù)恒等式轉(zhuǎn)化。

　　6. 夾逼定理

　　首先要熟悉該定理的內(nèi)容。有數(shù)列和函數(shù)兩種形式。若一個(gè)數(shù)列夾在兩外兩個(gè)數(shù)列之間(并不要求對所有的n成立，對充分大的n成立即可)，且在n趨于無窮時(shí)，兩頭的數(shù)列收斂到同一個(gè)數(shù)，則中間的數(shù)列被逼迫著極限也存在且極限值為同一個(gè)數(shù)。函數(shù)形式的夾逼定理類似理解。

　　接著應(yīng)熟悉一個(gè)結(jié)論：無窮小乘以有界量=無窮小。該結(jié)論是夾逼定理的推論。可用其解題。

　　最后，一種長得非常有型的極限計(jì)算題——n項(xiàng)分母互不相同的分式的和的極限，可考慮夾逼定理，也可能考慮定積分定義。限于篇幅，本文在此點(diǎn)到為止，不詳述。

　　7. 單調(diào)有界定理

　　該定理內(nèi)容并不難：單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必有極限;單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列必有極限。此處需注意，不是嚴(yán)格的單調(diào)也可以。

　　該定理數(shù)一數(shù)二同學(xué)尤其要注意，因?yàn)檎骖}在此處考過多次大題。該定理的一種比較典型的應(yīng)用場合是遞推式數(shù)列的極限問題。一般情況下，證明數(shù)列的極限存在就可考慮該定理。

　　專題二 不等式證明

　　不等式證明是真題中?？即箢}的地方，其中2014年的字母不等式的證明題有不少同學(xué)就找不到思路。下面我們梳理不等式證明的基本題型以及處理思路。

　　1. 基本思路

　　考慮一道題：證明f(x)>g(x),x屬于(a,b)。如何證明呢?能否帶入驗(yàn)證呢?即便有愚公移山的精神也不行!因?yàn)樘型跷荻皆俅螅w積質(zhì)量畢竟有限;而(a,b)中的實(shí)數(shù)確是真真切切的無窮多，所以帶入驗(yàn)證的工作成了貨真價(jià)實(shí)的“子子孫孫無窮匱也”。那有什么可行的思路呢?注意到，待證不等式可恒等變形為f(x)-g(x)>0,如果令F(x)=f(x)-g(x),進(jìn)一步可化為F(x)>0,x屬于(a,b)。如何證明一個(gè)函數(shù)在一個(gè)范圍恒大于零呢?僅需證明其在該范圍的最小值大于或等于0即可。而找一個(gè)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間(考慮(a,b)對應(yīng)的閉區(qū)間)上的最小值應(yīng)該不難。

　　好，我們由此得到了證明函數(shù)不等式的基本思路：移項(xiàng)構(gòu)造輔助函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性證明該函數(shù)的最小值大于等于零即可。具體解題有什么步驟嗎?基本步驟如下：1)移項(xiàng)構(gòu)造輔助函數(shù);2)計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值(常有一個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值為0，不妨設(shè)左端點(diǎn)的函數(shù)值為0);3)僅需證明函數(shù)單增即可，也即證明導(dǎo)函數(shù)大于或等于0對于開區(qū)間成立。

　　2.若干變形

　　以上是函數(shù)不等式證明的基本思路，真題中有什么變形呢?首先，如果待證的不等式形式較復(fù)雜，得考慮先化簡：若不等式兩邊有公因子，考慮約去公因子(考慮公因子的正負(fù)對不等號的影響);若待證不等式有分母，考慮去分母;若待證不等式是指數(shù)式，考慮不等號兩邊取對數(shù)。

　　其次，在第2)個(gè)計(jì)算步驟中，若端點(diǎn)函數(shù)值不存在，那怎么辦?用極限代替即可。再者，“僅需證明函數(shù)單增”只是咱們的美好愿望，如果實(shí)現(xiàn)不了呢?從圖像上看，已知函數(shù)在區(qū)間左端點(diǎn)的函數(shù)值為零，如果函數(shù)單增，那么函數(shù)在整個(gè)區(qū)間的圖像確實(shí)是位于x軸的上方;而如果函數(shù)如果不是單增，那圖像也有可能位于x軸的上方。換言之，函數(shù)單增僅是不等式成立的充分條件。不必?fù)?dān)心，若愿望落空，回到最基本的思路即可：證明函數(shù)在區(qū)間上的最小值大于等于零即可。

　　3. 字母不等式

　　以去年的那道證明題為例，要證的是不等式，但不含x而含有字母a，b，如何處理?以往的真題中出現(xiàn)過x1、x2這些非x的字母。這類不等式統(tǒng)稱字母不等式。處理方式出乎意料的簡單：把其中一個(gè)字母看成常量，另一個(gè)字母看成變量(或者替換為x)，字母不等式就化為函數(shù)不等式，進(jìn)而按照函數(shù)不等式的處理思路處理即可。趙本山的小品中老虎把烏龜看成穿上馬甲的蛇鬧出了笑話，咱們現(xiàn)在把字母不等式看成穿上馬甲的函數(shù)不等式不僅不是笑話，而且是正確的處理方式。

　　4. 積分不等式

　　積分不等式長得比較嚇人，但我要套用毛爺爺那句話：一切積分不等式都是紙老虎!這不是盲目自信，而是事實(shí)確是如此。積分不等式也屬函數(shù)不等式，只不過穿上了積分這個(gè)馬甲。處理思路是函數(shù)不等式的思路結(jié)合積分的性質(zhì)。

　　專題三 中值定理

　　中值定理相關(guān)證明是考研數(shù)學(xué)認(rèn)的重難點(diǎn)。以往這部分常考證明題這種大題。而近兩年沒考。去年的高數(shù)證明題考的函數(shù)不等式的證明，今年出乎意料地考了一個(gè)用導(dǎo)數(shù)定義證明求導(dǎo)公式的證明題。盡管近兩年未考，但作為以前常考大題的考點(diǎn)，哪位同學(xué)又敢對這部分內(nèi)容掉以輕心呢?好，這部分內(nèi)容的重要性無需贅述，那我們應(yīng)該如何去把握呢?

　　首先應(yīng)該把這部分的定理內(nèi)容弄清楚。習(xí)大大說：“打鐵還需自身硬!”我們要用這些定理去證明別的結(jié)論，先要自己把這些內(nèi)容弄透、弄熟。具體而言，這部分涉及的定理有：費(fèi)馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、零點(diǎn)存在定理、介值定理、最值定理和積分中值定理。前四個(gè)定理屬于微分中值定理，中間三個(gè)定理屬于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，最后一個(gè)為積分相關(guān)定理。值得一提的是，除了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)這幾個(gè)定理外，其余定理要求會證明。

　　接下來，應(yīng)總結(jié)真題中考過的此類題目的處理思路。這項(xiàng)工作可以自己完成，但須花費(fèi)一定時(shí)間?？缈冀逃龜?shù)學(xué)教研室的老師把近三十年的真題收集起來，總結(jié)出解題思路，在此分享給各位考生。

　　中值相關(guān)證明是從條件出發(fā)還是從結(jié)論出發(fā)呢?大部分情況下應(yīng)從結(jié)論出發(fā)?？创C的式子是含一個(gè)中值還是兩個(gè)中值。若含一個(gè)中值，接下來再看，是否含導(dǎo)數(shù)。若含一個(gè)中值并且含導(dǎo)數(shù)，則優(yōu)先考慮羅爾定理，接下來的思路就是構(gòu)造輔助函數(shù)以及找兩個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值相等(注意這兩個(gè)點(diǎn)未必是區(qū)間的端點(diǎn)，也可能是區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn))。若含一個(gè)中值并且不含導(dǎo)數(shù)，那考慮閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，那塊有兩個(gè)常用的定理等著咱們——零點(diǎn)定理和介值定理。選哪個(gè)定理呢?小方法來啦!看待證的中值是位于閉區(qū)間還是開區(qū)間，若是閉區(qū)間，則選介值定理，因?yàn)榻橹刀ɡ斫Y(jié)論就是中值位于閉區(qū)間;反之則選零點(diǎn)定理，因?yàn)榱泓c(diǎn)定理結(jié)論就是中值位于開區(qū)間。

　　好，一個(gè)中值的思路說完了，下面考慮兩個(gè)中值的情況。請問，若待證式子含兩個(gè)中值，這是用了幾次定理的結(jié)果?兩次!為什么?因?yàn)橛靡淮味ɡ淼玫降氖阶又缓幸粋€(gè)中值，即便復(fù)雜如柯西中值定理也不例外。所以，要出現(xiàn)兩個(gè)中值，一定是用兩次定理的結(jié)果。當(dāng)然，用兩次定理，肯定得到兩個(gè)式子，最終的一個(gè)式子含兩個(gè)中值應(yīng)為前面得到的兩個(gè)式子合并后的結(jié)果。那么，用哪個(gè)定理?根據(jù)對真題的分析，兩個(gè)中值的情況一般考慮拉格朗日或柯西定理。具體是用的哪個(gè)定理?對哪個(gè)函數(shù)用的?這可以通過觀察待證的式子得到。

　　總之，此類問題的思路有點(diǎn)像犯罪現(xiàn)場調(diào)查：出現(xiàn)這種結(jié)果，是如何造成的?誰是有嫌疑的函數(shù)，該函數(shù)是通過何種作案工具(定理)造成這種結(jié)果的。如果有這種體會，那么我們在做題的同時(shí)，也過了一把當(dāng)福爾摩斯那樣的大偵探的癮。

　　當(dāng)然，弄熟基本定理，也弄透了上述處理真題的思路，是否能輕松搞定全部真題呢?未必。真題中有各種變形，有了大致思路，還需把各個(gè)細(xì)節(jié)想清楚：如確定考慮羅爾定理了，那輔助函數(shù)如何構(gòu)造，函數(shù)值相等的兩點(diǎn)如何找?如確定了用拉格朗日或柯西定理，那輔助函數(shù)如何構(gòu)造，具體選哪個(gè)定理?這些細(xì)節(jié)需要結(jié)合真題一步步想通，多練習(xí)才能掌握。

　　專題四 一元積分

　　一元積分包括三部分內(nèi)容：不定積分、定積分和廣義積分。下面逐一討論。

　　1. 不定積分

　　不定積分主要考什么?概念、性質(zhì)、計(jì)算?計(jì)算!下面就梳理一下不定積分的計(jì)算方法。該方法可總結(jié)為“一個(gè)基礎(chǔ)兩個(gè)方法”。所謂“一個(gè)基礎(chǔ)”指：有理函數(shù)積分的處理方法;所謂“兩個(gè)方法”指根式的處理方法和分部積分法。

　　何謂有理函數(shù)積分?即被積函數(shù)為有理函數(shù)的積分。而有理函數(shù)即分子分母分別為n次和m次多項(xiàng)式的函數(shù)。有理函數(shù)積分是整個(gè)不定積分計(jì)算的基礎(chǔ)，因?yàn)楹芏嗥渌愋偷姆e分(如指數(shù)有理式積分、三角有理式積分等)可化為有理函數(shù)積分?？荚囍苯涌加欣砗瘮?shù)積分的可能性不大，但可能間接考，也就是在計(jì)算過程中的某一步用到有理函數(shù)積分的處理方法。那如何處理?簡單說就是在老舊危房的墻壁上我們經(jīng)?？吹降哪莻€(gè)字——拆。如何拆?教材和較權(quán)威的輔導(dǎo)書上都有討論，總結(jié)起來有三種情況：被積函數(shù)若含有x-a這種一次因子，則被積函數(shù)拆出一項(xiàng)A/(x-a)，其中A為待定參數(shù);若含有(x-a)^2這種二次因子，則被積函數(shù)拆出兩項(xiàng)A/(x-a)+ B/(x-a)^2;若含有x^2+ax+b這種二次因子(該拋物線無零點(diǎn))，則被積函數(shù)拆出一項(xiàng)(Ax+B)/(x^2+ax+b)。

　　接下來，討論根式的處理。若被積函數(shù)含有根號，我們自然想到去根號。如何去根號取決于根號下面表達(dá)式的具體形式：如果根號下面是關(guān)于x的一次式子，那么整體令成t，就能達(dá)到去根號的效果;如果根號下面是關(guān)于x的二次式子，要去根號，我們可以考慮通過換元讓根號下面整體出現(xiàn)一個(gè)平方，這時(shí)要借助一些三角恒等式，如根號下面是1-x^2，我們令x=sint就能達(dá)到效果;如果根號下面是其他形式，基本思路也是去根號，可類似上面考慮。當(dāng)然，這里的“換元”更嚴(yán)格的表述是不定積分的換元，注意不光要把被積函數(shù)中的變量換掉，還要把微分號中的變量也換成新的積分變量。

　　說著說著就說到了考試的重點(diǎn)內(nèi)容分部積分了。首先要把分部積分的公式弄清楚，可以這樣形式地記憶：被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)的乘積，先把一個(gè)函數(shù)湊微分(從形式上看就是把這個(gè)函數(shù)拿到微分號中)，進(jìn)一步等于新的積分式中的兩個(gè)函數(shù)相乘減去兩個(gè)函數(shù)交換位置。

　　接下來要處理好“何時(shí)用”和“怎么用”這兩個(gè)問題。數(shù)學(xué)上的道理和生活中的道理是相通的：打游戲時(shí)想放大招，若把握不好這兩個(gè)問題，那就可能出現(xiàn)不該放招時(shí)放了大招而該放大招時(shí)卻沒有大招了，也可能出現(xiàn)想放大招卻放不出的囧境;打籃球時(shí)要用好自己的身體，如果這兩個(gè)問題處理不好，就可能在不恰當(dāng)?shù)臅r(shí)間出現(xiàn)在不合適的位置，想為球隊(duì)做貢獻(xiàn)卻總是添亂。那么什么時(shí)候想到用分部積分法呢?有兩個(gè)信號(滿足其一即可)：1)被積函數(shù)是不同類型函數(shù)之積;2)被積函數(shù)含有對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)和多項(xiàng)式等求導(dǎo)后比自己簡單的函數(shù)。

　　如果確定用分部積分法，那么u(x)和v'(x)的選取是個(gè)關(guān)鍵問題。如何選?觀察分部積分公式，不難發(fā)現(xiàn)等號左邊有u(x)，而等號右邊會出現(xiàn)u'(x)，說明求導(dǎo)后比自己簡單的函數(shù)適合作為u(x)，如lnx，arctanx和多項(xiàng)式等;另外，等號左邊有v'(x)，第一步需要把v'(x)拿到微分號中，說明容易湊微分的函數(shù)適合作為v'(x)，如sinx，exp(x)等。

　　考試考不定積分計(jì)算主要考察根式的處理和分部積分法。有多種小的類型，如“一箭雙雕”型(用變量代換這支箭射下根號和反三角函數(shù)這兩只雕)，“相互抵消”型(兩項(xiàng)單獨(dú)用分部積分難以算出結(jié)果，但在計(jì)算過程中這兩項(xiàng)能抵消)等。需大量練習(xí)才能達(dá)到熟練的要求。

　　2. 定積分

　　先說定積分的定義。幾何意義是曲邊梯形面積的代數(shù)和。特殊情況下(區(qū)間取[0,1]，等分，在每個(gè)小區(qū)間上取右端點(diǎn)處的函數(shù)值)的定積分定義可作為一個(gè)公式求一種特殊類型的極限——n項(xiàng)分母互不相同的分式的和的極限。此外，數(shù)一數(shù)二同學(xué)還需掌握微元法的基本思想。

　　再說定積分的性質(zhì)。定積分的大部分性質(zhì)在計(jì)算過程中經(jīng)常用到，在此不必贅述。值得一提的是比較定理。該定理告訴我們，比較定積分的大小，在保證積分區(qū)間相同的情況下，實(shí)質(zhì)上就是比較被積函數(shù)的大小?？荚嚳级ǚe分的比較本質(zhì)上都是在考比較定理。

　　微積分基本定理從本質(zhì)上解決了定積分的計(jì)算問題。根據(jù)牛頓—萊布尼茲公式，求定積分在被積函數(shù)連續(xù)的情況下只需求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，再計(jì)算其函數(shù)值之差即可。

　　下面我們說說定積分有什么特殊性質(zhì)。首先是對稱區(qū)間積分，我們比較熟悉的是被積函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)時(shí)的性質(zhì)，此外真題中出現(xiàn)了一種新的情形：被積函數(shù)有一個(gè)因子是偶函數(shù)且其余部分有特殊性質(zhì)，也有相應(yīng)的結(jié)論。可以記住這個(gè)結(jié)論，用它來做同種類型的題目。接著就是做變量代換后區(qū)間不變的情況。如被積函數(shù)為f(sinx)，積分區(qū)間為0到pi/2，若做變量代換：x= pi/2-t可得到另一個(gè)積分，從形式上看，相當(dāng)于把原積分的sin換成了cos。這也可以為我們解題提供思路。此外，就是定積分的分部積分法。這里有若干種小的類型，如被積函數(shù)含有抽象函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f'(x), f'' (x)等，被積函數(shù)含有變限積分均可考慮定積分的分部積分法。另外，作為全面復(fù)習(xí)，“點(diǎn)火公式”(被積函數(shù)為sinx的n次冪，積分區(qū)間為0到pi/2)也不應(yīng)放過。

　　3. 廣義積分

　　廣義積分不少同學(xué)不熟悉，實(shí)際上考研要求很明確：會用定義判斷廣義積分的斂散性;會計(jì)算廣義積分。

　　定積分要存在需滿足兩條：積分區(qū)間有限且被積函數(shù)有界。破壞這些條件得到的積分稱為廣義積分。具體說來，無窮區(qū)間的廣義積分有三種：積分上限為無窮，積分下限為無窮，積分上、下限均為無窮;無界函數(shù)的廣義積分(也稱瑕積分，因?yàn)楸环e函數(shù)在積分區(qū)間無界，在區(qū)間內(nèi)部或端點(diǎn)處一定有讓被積函數(shù)無界的點(diǎn)，這種“不好”的點(diǎn)我們稱為瑕點(diǎn))也有三種：瑕點(diǎn)在區(qū)間的左端點(diǎn)，瑕點(diǎn)在區(qū)間的右端點(diǎn)，瑕點(diǎn)在區(qū)間的內(nèi)部。

　　廣義積分收斂發(fā)散的定義的形式看起來較復(fù)雜，可以按照如下方式理解：把廣義積分按照定積分的牛頓-萊布尼茲公式算出來(把正負(fù)無窮帶入看成取極限，瑕點(diǎn)處的函數(shù)值也看成取極限)，如果結(jié)果是個(gè)數(shù)，則廣義積分收斂;如果不存在，則廣義積分發(fā)散。

　　這里要特別注意兩類積分：積分上、下限均為無窮的廣義積分和瑕點(diǎn)在區(qū)間的內(nèi)部的廣義積分。前者在用牛頓-萊布尼茲公式之前，要用0把積分區(qū)間拆成兩個(gè)區(qū)間，進(jìn)而把積分拆成兩個(gè)積分，然后運(yùn)用前面的方法討論這兩個(gè)積分的斂散性，原積分收斂的充要條件是這兩個(gè)積分都收斂;后者要用瑕點(diǎn)把積分區(qū)間拆成兩個(gè)區(qū)間，進(jìn)而把積分拆成兩個(gè)積分，然后運(yùn)用前面的方法討論這兩個(gè)積分的斂散性，原積分收斂的充要條件是這兩個(gè)積分都收斂。

　　廣義積分的計(jì)算就是定積分加取極限。如果是上文提到的那兩種特殊類型的廣義積分，先拆成兩個(gè)積分，再計(jì)算即可。

　　艱難困苦，玉汝于成。