論2017年考研數(shù)學之概率論與數(shù)理統(tǒng)計的復習方法(二)

在帕斯卡、費爾馬和惠更斯之后，對概率論這一學科做出貢獻的是瑞士的數(shù)學家族——伯努利家族的幾位成員。雅可布•貝努利在前人已有的研究基礎上，繼續(xù)分析賭博中的其他問題，其突出成果包括給出“賭徒輸光問題”的詳盡解法，以及證明了“大數(shù)定律”中的一個定理(即著名的伯努利大數(shù)定律，這是研究等可能性事件的古典概率論中的極其重要的結果)。

盡管伯努利大數(shù)定律本身并不復雜，但其證明過程的給出卻不是一帆風順的。雅可布•貝努利在做了大量的實驗計算后，首先是猜想到這一事實的成立，然后為了完善這一猜想的證明，他又花了20年的時光。雅可布將他的全部心血傾注到這一數(shù)學研究之中，從中他發(fā)展了不少新方法，取得了許多新成果，終于將此定理證實。1713年，雅可布的著作《猜度術》出版。遺憾的是在他的大作問世之時，雅可布已謝世8年之久。

與此同時，雅可布的侄子尼古拉•貝努利提出了著名的“圣彼得堡問題”：甲乙兩人賭博，甲擲一枚硬幣到擲出正面為一局。若甲擲一次出現(xiàn)正面，則乙付給甲一個盧布;若甲第一次擲得反面，第二次擲得正面，乙付給甲2個盧布;若甲前兩次擲得反面，第三次得到正面，乙付給甲22個盧布。一般地，若甲前n-1次擲得反面，第n次擲得正面，則乙需付給甲2n-1個盧布。問在賭博開始前甲應付給乙多少盧布才有權參加賭博而不致虧損乙方?

與尼古拉同時代的許多數(shù)學家都參與研究了這個問題，并給出了一些不同的解法。但其結果是很奇特的，所付的款數(shù)竟為無限大。即不管甲事先拿出多少錢給乙，只要賭博不斷地進行，乙肯定是要賠錢的。

此后，隨著18、19世紀科學的發(fā)展，人們注意到某些生物、物理和社會現(xiàn)象與機會游戲相似，故研究者們開始將由機會游戲起源的概率論應用到這些領域中。事實證明，這種研究方法大大推動了概率論本身的發(fā)展。

(未完待續(xù))