2017考研數學：如何把握線性代數的復習

我曾問過不少考生這個問題：線性代數的知識結構是樹形結構還是網狀結構?不少同學回答網狀結構。考生首先應該把考綱規(guī)定的每個考點掌握好，接下來完成“歸納題型，總結方法”的任務(可以自己把參考資料總結的方法消化吸收，也可以把老師講的方法消化吸收)，接下來就是形成體系和強化重難點了。  

如何形成體系呢?用核心的概念把相關的知識串起來是個不錯的方法。比如n階矩陣A可逆有多少等價條件?從行列式的角度是A的行列式不等于0，從向量的角度是A的列向量組或行向量組線性無關，從線性方程組的角度是Ax=0僅有零解或Ax=b有唯一解，從秩的角度是r(A)=n，從特征值的角度是A的特征值不含0，從二次型的角度是A的轉置乘A正定。  

還有，要有尋根究底的精神。比如，我們討論下秩這個讓考生百感交集的概念。首先要搞清楚秩是什么?線性代數中有兩個秩：一個矩陣的秩，一個向量組的秩。矩陣的秩是矩陣非零子式的最高階數。一個矩陣的秩為k意味著什么?要會“翻譯”。“直接翻譯”的結論是矩陣非零子式的最高階數為k。只會“直接翻譯”還不足以應對考題，還得會“間接翻譯”：該矩陣存在k階非零子式，并且該矩陣不存在k+1階非零子式。再進一步思考：前半句話用秩的語言怎么描述?應為r(A)>=k;后半句話用秩的語言怎么描述?應為r(A)<=k。再思考：該矩陣不存在k+1階非零子式包含幾種情況?應有兩種情況：1)矩陣存在k+1階子式，但k+1階子式全為0;2)矩陣不存在k+1階子式(如矩陣是k階方陣)。這樣關于矩陣的秩的概念才理解到位了，但還需多做題才能達到熟練。  

類似地，我們可以對“向量組的秩”這個概念做層層剖析。首先，向量組的秩是向量組的極大線性無關組所含向量的個數。什么是極大線性無關組?顧名思義即個數最多的線性無關的子向量組。但是嚴格的數學定義必不可少。這個地方提到一個問題：有同學對于比較抽象的概念比較頭疼，試圖拋開嚴格的數學表述，而通過舉例子等方式理解，這樣可以嗎?不行。舉例子確實有助于理解，但代替不了嚴格的數學表述。其實，定義理解好了，方法就是自然而然的了。考生可以思考相關問題：如極大無關組是否唯一?如果不唯一，那它們是什么關系?  

還可以繼續(xù)思考矩陣的秩和向量組的秩的關系。任給一個矩陣A，矩陣可以按列分塊，也可以按行分塊，這樣我們可以得到三個秩——矩陣的秩，矩陣的列向量組的秩和矩陣的行向量組的秩。這三個秩是什么關系?結論是相等。這個結論不需要證明，會用即可。  

看完了這些學習線性代數的方法，大家是不是對線性代數的復習充滿了信心呢？其實，每一門學科的學習都需要恰當的方式方法，不能一條路走到黑，需要大家有隨機應變的能力，不能盲目學習，只要找對了復習方法，那復習起來就事半功倍了。