2020考研數(shù)學(xué)之特征值與特征向量

　　轉(zhuǎn)眼間已是六月中旬，基礎(chǔ)階段的線代課程已基本結(jié)束，今天我們來(lái)說(shuō)一下關(guān)于特征值與特征向量這一塊的內(nèi)容。特征值與特征向量是線性代數(shù)的重要內(nèi)容，當(dāng)然也是重要的考點(diǎn)之一。這一部分既是要對(duì)前面矩陣、線性方程組的綜合應(yīng)用，也是后面二次型的基礎(chǔ)。特征值與特征向量這一章節(jié)所涉及的題目多，分值大，平均每年考查10分左右。

　　特征值與特征向量這一塊包含三個(gè)方面的內(nèi)容：1、特征值與特征向量的定義與性質(zhì)。2、矩陣相似于相似對(duì)角化。3、實(shí)對(duì)稱矩陣的相關(guān)問(wèn)題。

　　首先我們來(lái)說(shuō)下關(guān)于特征值與特征向量的定義及性質(zhì)問(wèn)題。我們是用特征多項(xiàng)式等于零來(lái)求特征值的，求解一個(gè)齊次線性方程組來(lái)求解特征向量的。因此求特征值與特征向量的方法和過(guò)程一定要掌握住，這里就要求我們對(duì)行列式的計(jì)算與齊次線性方程組的求解要熟練。對(duì)于一個(gè)抽象型的矩陣求特征值與特征向量我們是用定義來(lái)求解的。對(duì)于特征值與特征向量這一部分的性質(zhì)我們主要掌握住：1、已知矩陣的特征值與特征向量，要記清楚其逆矩陣、伴隨矩陣、相似矩陣以及轉(zhuǎn)置的特征值及其特征向量，其中矩陣轉(zhuǎn)置的特征向量咱們不用考慮。2、我們要會(huì)根據(jù)矩陣多項(xiàng)式來(lái)確定矩陣特征值的范圍。3、已知矩陣的所有特征值，則矩陣的跡等于所有特征值的和，矩陣取行列式等于所有特征值相乘。這幾個(gè)性質(zhì)容易出一些選擇題或者填空題，所以要求我們一定要掌握住。

　　其次，關(guān)于矩陣的相似于相似對(duì)角化這一節(jié)，我們要掌握住矩陣相似的定義、矩陣相似的必要不充分條件，其中必要不充分條件的逆否命題是我們用來(lái)判別矩陣不相似的常見(jiàn)方法，其中兩矩陣的跡不相等則不相似最好用。關(guān)于判別兩個(gè)矩陣相似的問(wèn)題，2017年考研與2018考研都出過(guò)選擇題，因此我們要掌握住兩個(gè)矩陣相似的判別方法。對(duì)于相似對(duì)角化的問(wèn)題是容易出大題的地方，要會(huì)判別一個(gè)矩陣能否相似對(duì)角化并且要會(huì)求一個(gè)可逆矩陣使得矩陣可以相似對(duì)角化。判斷矩陣是否可相似對(duì)角化有三個(gè)方法，兩個(gè)充分條件：1、若矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣則一定可以相似對(duì)角化。2、若n階矩陣有n個(gè)不同的特征值則一定可以相似對(duì)角化。一個(gè)充要條件：若n階矩陣有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量則一定可以相似對(duì)角化。

　　最后，關(guān)于實(shí)對(duì)稱矩陣這一塊。對(duì)于一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣不僅可以通過(guò)一個(gè)可逆矩陣相似對(duì)角化，還可以通過(guò)一個(gè)正交矩陣來(lái)相似對(duì)角化。實(shí)對(duì)稱矩陣的不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量正交，而且實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值全為實(shí)數(shù)。這里我們一定要會(huì)求一個(gè)正交矩陣來(lái)相似對(duì)角化，這里的正交矩陣是矩陣的彼此正交且為單位向量的特征向量組成的，這里的對(duì)角矩陣是矩陣的特征值組成的。

　　特征值與特征向量這一章節(jié)是考研的重點(diǎn)內(nèi)容，同學(xué)們一定要掌握住?？佳新飞希瑢W(xué)們繼續(xù)加油!

　　(本文為跨考教育教研室吳方方老師原創(chuàng)，轉(zhuǎn)載請(qǐng)注明出處。)