2021考研數(shù)學(xué)：線性代數(shù)不得不知四大考點(diǎn)

　　考研數(shù)學(xué)一直是很多孩子們的“心病”，但是數(shù)學(xué)作為考研課程中的公共課程在其中起著至關(guān)重要的作用。而線性代數(shù)是相對來說比較容易拿分的部分，經(jīng)過分析了近年考試真題與大綱，總結(jié)出2021數(shù)學(xué)線性代數(shù)考試考查概率極高的四個(gè)核心考點(diǎn)，希望能對大家有一定幫助。

　　矩陣的秩

　　矩陣是解決線性方程組的解的有力工具，矩陣也是化簡二次型的方便工具。矩陣?yán)碚撌蔷€性代數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容，熟悉掌握了矩陣的相關(guān)性質(zhì)與內(nèi)容，利用其來解決實(shí)際應(yīng)用問題就變得簡單易行。正因?yàn)榫仃嚴(yán)碚撛谡麄€(gè)線性代數(shù)中的重要作用，使它變?yōu)榭荚嚳疾榈闹攸c(diǎn)。矩陣由那么多元素組成，每一個(gè)元素都在扮演不同的角色，其中的核心或主角是它的秩!

　　通過幾十年考研考試，老師對題目的形式在不斷地完善，這也要求考生深入理解概念，靈活處理理論之間的關(guān)系，能變通地解答題目。例如對矩陣秩的理解，對矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系的理解，對矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)之間區(qū)別的理解，對矩陣的秩與方程組的解之間關(guān)系的掌握，對含參數(shù)的矩陣的處理以及反問題的解決能力等，都需要在對概念理解的基礎(chǔ)上，聯(lián)系地看問題，及時(shí)總結(jié)結(jié)論。

　　矩陣的特征值與特征向量

　　矩陣的特征值與特征向量在將矩陣對角化過程中起著決定作用，也是將二次型標(biāo)準(zhǔn)化、規(guī)范化的便捷方式，故特征值與特征向量也是考查重點(diǎn)。對于特征值與特征向量，須理清其相互關(guān)系，也須能根據(jù)一些矩陣的特殊性求得其特征值與特征向量(例如根據(jù)矩陣各行元素之和為3能夠判斷3是其一個(gè)特征值，元素均為1的列向量是其對應(yīng)的特征向量)，會處理含參數(shù)的情況。

　　線性方程組求解

　　對線性方程組的求解總是通過矩陣來處理，含參數(shù)的方程組是考查的重點(diǎn)，對方程組解的結(jié)構(gòu)及有解的條件須熟悉。例如2010年第20題(數(shù)學(xué)二為22題)，已經(jīng)三元非齊次線性方程組存在2個(gè)不同的解，求其中的參數(shù)并求方程組的通解。此題的關(guān)鍵是確定參數(shù)!而所有信息完全隱含在“AX=b存在2個(gè)不同的解”這句話中。由此可以得到齊次方程組有非0解，系數(shù)矩陣降秩，行列式為0，可求得矩陣中的參數(shù);非齊次方程組有解故系數(shù)矩陣與增廣矩陣同秩可確定唯一參數(shù)及b中的參數(shù)。至于確定參數(shù)后再求解非齊次方程組就變得非常簡單了!

　　二次型標(biāo)準(zhǔn)化與正定判斷

　　二次型的標(biāo)準(zhǔn)化與矩陣對角化緊密相連，即與矩陣的特征值與特征向量緊密聯(lián)系。這里需要掌握一些處理含參數(shù)矩陣的方法以便運(yùn)算中節(jié)省時(shí)間!正定二次型有很優(yōu)秀的性質(zhì)，但畢竟這是一類特殊矩陣，判斷一個(gè)矩陣是否屬于這個(gè)特殊類，可以使用正定矩陣的幾個(gè)充要條件，例如二次型矩陣的特征值是否全大于0，順序主子式是否均大于0等，但前者更常用一些。

　　這四個(gè)考點(diǎn)可以說是考試的重點(diǎn)考查對象，考生可以根據(jù)自己的實(shí)際情況圍繞重點(diǎn)題型復(fù)習(xí)。

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