2022考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)行列式的計算方法

　　2022考研的考生們即將進入暑期強化階段，線性代數(shù)是2022考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的重要部分，建議考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不好的小伙伴早點開始復(fù)習(xí)，下面小編整理了2022年考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)行列式的計算方法，一起來看看吧。

　　方法1　　化三角形法

　　化三角形法是將原行列式化為上(下)三角形行列式或?qū)切涡辛惺接嬎愕囊环N方法。這是計算行列式的基本方法重要方法之一。因為利用行列式的定義容易求得上(下)三角形行列式或?qū)切涡辛惺降男再|(zhì)將行列式化為三角形行列式計算。

　　原則上，每個行列式都可利用行列式的性質(zhì)化為三角形行列式。但對于階數(shù)高的行列式，在一般情況下，計算往往較繁。因此，在許多情況下，總是先利用行列式的性質(zhì)將其作為某種保值變形，再將其化為三角形行列式。

　　例1：浙江大學(xué)2004年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題第一大題第2小題(重慶大學(xué)2004年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題第三大題第1小題)的解答中需要計算如下行列式的值：

　　[分析]顯然若直接化為三角形行列式，計算很繁，所以我們要充分利用行列式的性質(zhì)。注意到從第1列開始;每一列與它一列中有n-1個數(shù)是差1的，根據(jù)行列式的性質(zhì)，先從第n-1列開始乘以-1加到第n列，第n-2列乘以-1加到第n-1列，一直到第一列乘以-1加到第2列。然后把第1行乘以-1加到各行去，再將其化為三角形行列式，計算就簡單多了。

　　解：

　　方法2　 按行(列)展開法(降階法)

　　設(shè)為階行列式，根據(jù)行列式的按行(列)展開定理有

　　或

　　其中為中的元素的代數(shù)余子式

　　按行(列)展開法可以將一個n階行列式化為n個n-1階行列式計算。若繼續(xù)使用按行(列)展開法，可以將n階行列式降階直至化為許多個2階行列式計算，這是計算行列式的又一基本方法。但一般情況下，按行(列)展開并不能減少計算量，僅當(dāng)行列式中某一行(列)含有較多零元素時，它才能發(fā)揮真正的作用。因此，應(yīng)用按行(列)展開法時，應(yīng)利用行列式的性質(zhì)將某一行(列)化為有較多的零元素，再按該行(列)展開。

　　例2，計算20階行列式[9]

　　[分析]這個行列式中沒有一個零元素，若直接應(yīng)用按行(列)展開法逐次降階直至化許許多多個2階行列式計算，需進行20!*20-1次加減法和乘法運算，這人根本是無法完成的，更何況是n階。但若利用行列式的性質(zhì)將其化為有很多零元素，則很快就可算出結(jié)果。

　　注意到此行列式的相鄰兩列(行)的對應(yīng)元素僅差1，因此，可按下述方法計算：

　　解：

　　以上就是計算行列式最基本的兩種方法，接下來介紹的一些方法，不管是哪種，都要與行列式的性質(zhì)和基本方法結(jié)合起來。

　　下面是一常用的方法：

　　方法3　遞推法

　　應(yīng)用行列式的性質(zhì)，把一個n階行列式表示為具有相同結(jié)構(gòu)的較低階行列式(比如，n-1階或n-1階與n-2階等)的線性關(guān)系式，這種關(guān)系式稱為遞推關(guān)系式。根據(jù)遞推關(guān)系式及某個低階初始行列式(比如二階或一階行列式)的值，便可遞推求得所給n階行列式的值，這種計算行列式的方法稱為遞推法。

　　[注意]用此方法一定要看行列式是否具有較低階的相同結(jié)構(gòu)如果沒有的話，即很難找出遞推關(guān)系式，從而不能使用此方法。

　　例3，2003年福州大學(xué)研究生入學(xué)考試試題第二大題第10小題要證如下行列式等式：

　　(雖然這是一道證明題，但我們可以直接求出其值，從而證之。)

　　[分析]此行列式的特點是：除主對角線及其上下兩條對角線的元素外，其余的元素都為零，這種行列式稱“三對角”行列式[1]。從行列式的左上方往右下方看，即知Dn-1與Dn具有相同的結(jié)構(gòu)。因此可考慮利用遞推關(guān)系式計算。

　　證明：Dn按第1列展開，再將展開后的第二項中n-1階行列式按第一行展開有：

　　這是由Dn-1 和Dn-2表示Dn的遞推關(guān)系式。若由上面的遞推關(guān)系式從n階逐階往低階遞推，計算較繁，注意到上面的遞推關(guān)系式是由n-1階和n-2階行列式表示n階行列式，因此，可考慮將其變形為：

　　或

　　現(xiàn)可反復(fù)用低階代替高階，有：

　　同樣有：

　　因此當(dāng)時

　　由(1)(2)式可解得：

　　證畢。

　　[點評]雖然我們從一個行列式中可以看出有低階的相同的結(jié)構(gòu)，然后得到一遞推關(guān)系式，但我們不要盲目亂代，一定要看清這個遞推關(guān)系式是否可以簡化我們的計算，如果不

　　行的話，就要適當(dāng)?shù)負Q遞 推關(guān)系式，如本題。

　　以上總共給出了計算行列式的3種方法，其中一些是常見的些是最基本的方法，還有一些是特殊但很實用的方法。在課外書中還有其他的一些方法，如：極限法、換元法、導(dǎo)數(shù)法、差分法、積分法等，但這些方法用處不多，所以不加以介紹。

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