2018考研數(shù)學(xué)：線(xiàn)性代數(shù)考點(diǎn)結(jié)構(gòu)分析

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　　在考研數(shù)學(xué)中，線(xiàn)代部分占22%，雖然所占比例不及高數(shù)分值高，這導(dǎo)致相當(dāng)一部分同學(xué)不重視線(xiàn)性代數(shù)的學(xué)習(xí)，加上這門(mén)學(xué)科知識(shí)概念錯(cuò)綜復(fù)雜，沒(méi)有高數(shù)學(xué)起來(lái)有體系,使得一開(kāi)始同學(xué)們就覺(jué)得很困難，后續(xù)的學(xué)習(xí)中由于畏難情緒一直沒(méi)有學(xué)好。

　　性代數(shù)的考題與高等數(shù)學(xué)、概率部分考題最大的不同就是，線(xiàn)性代數(shù)的一道考題可能會(huì)牽涉到行列式、矩陣、向量等等很多知識(shí)點(diǎn)，這是因?yàn)榫€(xiàn)性代數(shù)各個(gè)章節(jié)知識(shí)之間聯(lián)系非常緊密，知識(shí)是一個(gè)環(huán)環(huán)相扣且互相融合的。

　　偉大數(shù)學(xué)家牛頓說(shuō)自己看的更遠(yuǎn)是因?yàn)檎驹诰奕思绨蛏?，同樣的想要徹底學(xué)好線(xiàn)性代數(shù)，只有站在最高點(diǎn)回頭看，線(xiàn)性代數(shù)好像一個(gè)個(gè)的圓環(huán)，大圓環(huán)中還有小圓環(huán)，一個(gè)環(huán)一個(gè)環(huán)的拿出來(lái)理順，才算學(xué)好，任何一個(gè)環(huán)缺一部分都不完整。

　　現(xiàn)在總結(jié)下線(xiàn)性代數(shù)的主要考點(diǎn)：

　　1、行列式——行列式這部分沒(méi)有太多內(nèi)容，行列式的重點(diǎn)是計(jì)算，利用性質(zhì)熟練準(zhǔn)確的計(jì)算出行列式的值。

　　2、矩陣——矩陣是一個(gè)基礎(chǔ)，關(guān)聯(lián)到整個(gè)線(xiàn)代。矩陣的運(yùn)算非常重要，尤其不要做非法的運(yùn)算(因?yàn)榇蠹伊?xí)慣了數(shù)的運(yùn)算，在做矩陣運(yùn)算的時(shí)候容易受到數(shù)的影響，所以這個(gè)地方大家要把它搞清楚)。矩陣運(yùn)算里一個(gè)很重要的就是初等變換。我們?cè)诮夥匠探M，求特征向量都離不開(kāi)這部分內(nèi)容。這是我們矩陣部分的重點(diǎn)。

　　3、向量——向量這部分是邏輯性非常強(qiáng)的部分，主要包括證明(或判別)向量組的線(xiàn)性相關(guān)(無(wú)關(guān))，線(xiàn)性表出等問(wèn)題，此問(wèn)題的關(guān)鍵在于深刻理解線(xiàn)性相關(guān)(無(wú)關(guān))的概念及幾個(gè)相關(guān)定理的掌握，并要注意推證過(guò)程中邏輯的正確性及反證法的使用。向量組的極大無(wú)關(guān)組，等價(jià)向量組，向量組及矩陣的秩的概念，以及它們相互關(guān)系也是重點(diǎn)內(nèi)容之一。用初等行變換是求向量組的極大無(wú)關(guān)組及向量組和矩陣秩的有效方法。

　　4、特征值、特征向量——要會(huì)求特征值、特征向量，對(duì)具體給定的數(shù)值矩陣，一般用特征方程∣λE-A∣=0及(λE-A)ξ=0即可，抽象的由給定矩陣的特征值求其相關(guān)矩陣的特征值(的取值范圍)，可用定義Aξ=λξ，同時(shí)還應(yīng)注意特征值和特征向量的性質(zhì)及其應(yīng)用。有關(guān)相似矩陣和相似對(duì)角化的問(wèn)題，一般矩陣相似對(duì)角化的條件。實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化及正交變換相似于對(duì)角陣。反過(guò)來(lái)，可由A的特征值，特征向量來(lái)確定A的參數(shù)或確定A，如果A是實(shí)對(duì)稱(chēng)陣，利用不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量相互正交，有時(shí)還可以由已知λ1的特征向量確定出λ2(λ2≠λ1)對(duì)應(yīng)的特征向量，從而確定出A.

　　另外，特征向量就是求齊次方程組的基礎(chǔ)解系，你前面基礎(chǔ)打牢了，這里又不是新的內(nèi)容。

　　5、二次型——二次型的內(nèi)容是針對(duì)于只考數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)三的同學(xué)。二次型只要把其矩陣對(duì)應(yīng)寫(xiě)出來(lái)，其問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角型來(lái)討論。所以這部分的內(nèi)容又聯(lián)系上前面的內(nèi)容了。把前面的基礎(chǔ)打牢，后面的知識(shí)自然就掌握了。

　　盡管知識(shí)結(jié)構(gòu)如此復(fù)雜，但是考研中對(duì)線(xiàn)性代數(shù)的考察還是以基本概念、定理為主，考察的能力以運(yùn)算能力、抽象概括能力、邏輯思維能力，可以說(shuō)想一次學(xué)好線(xiàn)性代數(shù)幾乎不可能，就像前文提到，一次無(wú)法走到最高點(diǎn)，也無(wú)法使得每一個(gè)環(huán)都完整，因此要踏下心來(lái)，耐心思考，反復(fù)多次，從微觀(guān)到宏觀(guān)，見(jiàn)微知著，才能完成這門(mén)學(xué)科的學(xué)習(xí)。

　　(段喜亮 跨考教育數(shù)學(xué)教研室)

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