考研數(shù)學(xué):線性代數(shù)真題命題特點(diǎn)
總體來(lái)說(shuō),在考研數(shù)學(xué)真題中,線性代數(shù)主要包括六部分的內(nèi)容,行列式、矩陣、向量、線性方程組、特征值與特征向量、二次型。
?行列式部分
熟練掌握行列式的計(jì)算。
行列式實(shí)質(zhì)上是一個(gè)數(shù)或含有字母的式子,如何把這個(gè)數(shù)算出來(lái),一般情況下很少用行列式的定義進(jìn)行求解,而往往采用行列式的性質(zhì)將其化成上或下三角行列式進(jìn)行計(jì)算,或是采用降階法(按行或按列展開(kāi)定理),甚至有時(shí)兩種方法同時(shí)用。此外范德蒙行列式也是需要掌握的。行列式的考查方式分為低階的數(shù)字型矩陣和高階抽象行列式的計(jì)算、含參數(shù)的行列式的計(jì)算等等。小伙伴們只要掌握了基本方法即可。
?矩陣部分
重視矩陣運(yùn)算,掌握矩陣秩的應(yīng)用。
通過(guò)考研數(shù)學(xué)歷年真題分類統(tǒng)計(jì)與考點(diǎn)分布,矩陣部分的考點(diǎn)集中在逆矩陣、伴隨矩陣、矩陣的秩及矩陣方程的考查。此外,含隨矩陣的矩陣方程,矩陣與行列式的關(guān)系、逆矩陣的求法也是我們需要掌握的知識(shí)點(diǎn)。涉及秩的應(yīng)用,包含秩與矩陣可逆的關(guān)系,矩陣及其伴隨矩陣秩之間的關(guān)系,矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系,矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)的區(qū)別與聯(lián)系,系數(shù)矩陣的秩與方程組的解之間關(guān)系的分析。
?向量部分
理解相關(guān)無(wú)關(guān)概念,靈活進(jìn)行判定。
向量組的線性相關(guān)問(wèn)題是向量部分的重中之重,也是考研線性代數(shù)每年必出的考點(diǎn)。要求考生掌握線性相關(guān)、線性表出、線性無(wú)關(guān)的定義。以及如何判斷向量組線性相關(guān)及線性無(wú)關(guān)的方法。向量組的秩和極大無(wú)關(guān)組以及向量組等價(jià)這些重要的知識(shí)點(diǎn)要求同學(xué)們一定一定掌握到位。
這是線性代數(shù)前三個(gè)內(nèi)容的命題特點(diǎn),而行列式的矩陣是整個(gè)線性代數(shù)的基礎(chǔ),對(duì)于行列式的計(jì)算及矩陣的運(yùn)算與一些重要的性質(zhì)與結(jié)論請(qǐng)小伙伴們一定要?jiǎng)?wù)必掌握,否則的話,對(duì)于后面四部分的學(xué)習(xí)會(huì)越學(xué)越難,希望同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)過(guò)程中一定注意前面內(nèi)容的復(fù)習(xí),為后面的考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)打好基礎(chǔ)。
前面我們已經(jīng)分析過(guò),考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)這門學(xué)科整體的特點(diǎn)是知識(shí)點(diǎn)之間的綜合性比較強(qiáng),有些概念較為抽象,這也是大部分人認(rèn)為考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)不好學(xué),根本找不到復(fù)習(xí)的頭緒,做題時(shí)也是一頭霧水,不知道怎么分析考慮。
所以大家在學(xué)習(xí)過(guò)程中一定要注意知識(shí)間之間的關(guān)聯(lián)性,理解概率的實(shí)質(zhì)。如:矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)聯(lián),矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)的區(qū)別,矩陣等價(jià)、相似、合同三者之間的區(qū)別與聯(lián)系、矩陣相似對(duì)角化與實(shí)對(duì)稱矩陣正交變換對(duì)角化二者之間的區(qū)別與聯(lián)系等等。若是大家對(duì)于上面的問(wèn)題根本分不清楚,則說(shuō)明大家對(duì)于基本概念、基本方法還沒(méi)有完全理解透徹。不過(guò),大家也不要太焦急,希望小伙伴在后期的復(fù)習(xí)過(guò)程中對(duì)于基本概念、基本方法要多加理解和體會(huì),學(xué)習(xí)一定要有心得。
?線性方程組
會(huì)求兩類方程組的解。
線性方程組是線性代數(shù)這么學(xué)科的核心和樞紐,很多問(wèn)題的解決都離不開(kāi)解方程組。因而線性方程組解的問(wèn)題是每年必考的知識(shí)點(diǎn)。對(duì)于齊次線性方程組,我們需要掌握基礎(chǔ)解系的概念,以及如何求一個(gè)方程組的基礎(chǔ)解系。清楚明了基礎(chǔ)解系所含線性無(wú)關(guān)解向量的個(gè)數(shù)和系數(shù)矩陣的秩之間的關(guān)系。會(huì)判斷非齊次線性方程組的解的情況,掌握其求解的方法。此外,我們還需要掌握非齊次線性方程組與其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系。
?特征值與特征向量
掌握矩陣對(duì)角化的方法。
這一部分是理論性較強(qiáng)的,理解特征值與特征向量的定義及性質(zhì),矩陣相似的定義,矩陣對(duì)角化的定義。小伙伴們還需掌握求矩陣特征值與特征向量的基本方法。會(huì)判斷一個(gè)矩陣是否可以對(duì)角化,若可以的話,需要把相應(yīng)的可逆矩陣P求出來(lái)。還需要注意矩陣及其關(guān)聯(lián)矩陣(轉(zhuǎn)置、逆、伴隨、相似)的特征值與特征向量的關(guān)系。反問(wèn)題也是喜歡考查的一類題型,已知矩陣的特征值與特征向量,反求矩陣A。
?二次型
理解二次型標(biāo)準(zhǔn)化的過(guò)程,掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化。二次型幾乎是每年必考的一道大題,一般考查的是采用正交變換法將二次型標(biāo)準(zhǔn)化。掌握二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范型之間的區(qū)別與聯(lián)系。會(huì)判斷二次型是否正定的一般方法。討論矩陣等價(jià)、相似、合同的關(guān)系。
雖然線性代數(shù)在考研數(shù)學(xué)考試試卷中僅有5題,占有34分的分值,但是這34分也不是很輕松就能拿下的。小伙伴們?cè)趶?fù)習(xí)過(guò)程中需要對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)理解透徹,做考研數(shù)學(xué)題過(guò)程中多分析總結(jié)。
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