2016考研數(shù)學考試分析之定理證明(四)

劉緯宇——數(shù)學教研室

(書接上回)

三、微積分基本定理的證明

該部分包括兩個定理：變限積分求導定理和牛頓-萊布尼茨公式。

變限積分求導定理的條件是變上限積分函數(shù)的被積函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，結論可以形式地理解為變上限積分函數(shù)的導數(shù)為把積分號扔掉，并用積分上限替換被積函數(shù)的自變量。注意該求導公式對閉區(qū)間成立，而閉區(qū)間上的導數(shù)要區(qū)別對待：對應開區(qū)間上每一點的導數(shù)是一類，而區(qū)間端點處的導數(shù)屬單側導數(shù)?；ㄩ_兩朵，各表一枝。我們先考慮變上限積分函數(shù)在開區(qū)間上任意點x處的導數(shù)。一點的導數(shù)仍用導數(shù)定義考慮。至于導數(shù)定義這個極限式如何化簡，筆者就不能剝奪讀者思考的權利了。單側導數(shù)類似考慮。

“牛頓-萊布尼茨公式是聯(lián)系微分學與積分學的橋梁，它是微積分中最基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運算，同時在理論上標志著微積分完整體系的形成，從此微積分成為一門真正的學科。”這段話精彩地指出了牛頓-萊布尼茨公式在高數(shù)中舉足輕重的作用。而多數(shù)考生能熟練運用該公式計算定積分。不過，提起該公式的證明，熟悉的考生并不多。

該公式和變限積分求導定理的公共條件是函數(shù)f(x)在閉區(qū)間連續(xù)，該公式的另一個條件是F(x)為f(x)在閉區(qū)間上的一個原函數(shù)，結論是f(x)在該區(qū)間上的定積分等于其原函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值的差。該公式的證明要用到變限積分求導定理。若該公式的條件成立，則不難判斷變限積分求導定理的條件成立，故變限積分求導定理的結論成立。注意到該公式的另一個條件提到了原函數(shù)，那么我們把變限積分求導定理的結論用原函數(shù)的語言描述一下，即f(x)對應的變上限積分函數(shù)為f(x)在閉區(qū)間上的另一個原函數(shù)。根據(jù)原函數(shù)的概念，我們知道同一個函數(shù)的兩個原函數(shù)之間只差個常數(shù)，所以F(x)等于f(x)的變上限積分函數(shù)加某個常數(shù)C。萬事俱備，只差寫一下。將該公式右側的表達式結合推出的等式變形，不難得出結論。

(未完待續(xù))