2016考研數(shù)學(xué)考試分析之定理證明(五)

劉緯宇——數(shù)學(xué)教研室

(書接上回)

四、積分中值定理

該定理條件是定積分的被積函數(shù)在積分區(qū)間(閉區(qū)間)上連續(xù)，結(jié)論可以形式地記成該定積分等于把被積函數(shù)拎到積分號外面，并把積分變量x換成中值。如何證明?可能有同學(xué)想到用微分中值定理，理由是微分相關(guān)定理的結(jié)論中含有中值?？梢园凑沾怂悸吠路治?，不過更易理解的思路是考慮連續(xù)相關(guān)定理(介值定理和零點存在定理)，理由更充分些：上述兩個連續(xù)相關(guān)定理的結(jié)論中不但含有中值而且不含導(dǎo)數(shù)，而待證的積分中值定理的結(jié)論也是含有中值但不含導(dǎo)數(shù)。

若我們選擇了用連續(xù)相關(guān)定理去證，那么到底選擇哪個定理呢?這里有個小的技巧——看中值是位于閉區(qū)間還是開區(qū)間。介值定理和零點存在定理的結(jié)論中的中值分別位于閉區(qū)間和開區(qū)間，而待證的積分中值定理的結(jié)論中的中值位于閉區(qū)間。那么何去何從，已經(jīng)不言自明了。

若順利選中了介值定理，那么往下如何推理呢?我們可以對比一下介值定理和積分中值定理的結(jié)論：介值定理的結(jié)論的等式一邊為某點處的函數(shù)值，而等號另一邊為常數(shù)A。我們自然想到把積分中值定理的結(jié)論朝以上的形式變形。等式兩邊同時除以區(qū)間長度，就能達(dá)到我們的要求。當(dāng)然，變形后等號一側(cè)含有積分的式子的長相還是挺有迷惑性的，要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，看清楚定積分的值是一個數(shù)，進(jìn)而定積分除以區(qū)間長度后仍為一個數(shù)。這個數(shù)就相當(dāng)于介值定理結(jié)論中的A。

接下來如何推理，這就考察各位對介值定理的熟悉程度了。該定理條件有二：1.函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，2.實數(shù)A位于函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值之間，結(jié)論是該實數(shù)能被取到(即A為閉區(qū)間上某點的函數(shù)值)。再看若積分中值定理的條件成立否能推出介值定理的條件成立。函數(shù)的連續(xù)性不難判斷，僅需說明定積分除以區(qū)間長度這個實數(shù)位于函數(shù)的最大值和最小值之間即可。而要考察一個定積分的值的范圍，不難想到比較定理(或估值定理)。

定理證明確屬難點，但幾乎沒有考生敢于不去復(fù)習(xí)這部分，因為一旦考出來就是大題，且在沒復(fù)習(xí)的情況下當(dāng)場做出的可能性很小。在此提醒2017的考研學(xué)子，掌握好以上梳理的重要定理的證明，是通往高分的必經(jīng)之路。