2016考研數(shù)學(xué)考試分析之高頻大題(三)

劉緯宇——數(shù)學(xué)教研室

(書接上回)

若選擇了極坐標(biāo)系，那接下來干什么?要選擇積分次序嗎?不用選，肯定是先對r積分后對角度積分，另一種次序的積分幾乎沒出現(xiàn)過。再往后就是定限了。極坐標(biāo)系下定限可以簡單概括為：從原點(diǎn)出發(fā)畫一條射線穿過積分區(qū)域，與積分區(qū)域的邊界有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)的r坐標(biāo)即為第一次積分的積分上下限(把交點(diǎn)的r坐標(biāo)用角度表示)。接下來，讓剛才畫的這條射線繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，直到與積分區(qū)域的邊界相切，這兩條切線對應(yīng)的角度即為第二次積分的積分上下限。

若選擇了直角坐標(biāo)系，那接下來要選擇積分次序。又涉及到選擇了，當(dāng)然是一看積分區(qū)域，二看被積函數(shù)?？捶e分區(qū)域的原則是避免分類討論，看被積函數(shù)的原則是讓第一次積分簡單。次序選完后，就進(jìn)入到收官階段——定限了。直角坐標(biāo)系下定限可以簡單概括為：先對誰積分就畫一條平行于哪個(gè)坐標(biāo)軸的直線，穿過積分區(qū)域，與積分區(qū)域的邊界有兩個(gè)交點(diǎn)。這兩個(gè)交點(diǎn)就對應(yīng)著第一次積分的積分上下限。接下來，讓剛才畫的這條直線平行移動，直到與積分區(qū)域的邊界相切。這兩條切線就對應(yīng)著第二次積分的積分上下限。

五、冪級數(shù)求和、展開

處理此類問題可以從兩方面把握：工具和思路。

工具包括一般函數(shù)f(x)的泰勒級數(shù)、常見函數(shù)的泰勒級數(shù)和逐項(xiàng)求導(dǎo)、積分定理。把這三部分內(nèi)容理解到位是處理求和、展開問題的前提。

函數(shù)展開成冪級數(shù)有兩種方法：直接法和間接法。絕大部分真題用的是間接法。所謂間接法，即記住常用函數(shù)的泰勒展開公式，然后看題目所給函數(shù)跟哪個(gè)公式像，則朝該公式的方向變形。變形的方式包括基本變形(如裂項(xiàng))和求導(dǎo)、求積。后一種變形方式考頻更高。此種變形也可以這么理解：題目所給函數(shù)直接套公式不行，也不能通過基本變形后套公式，那就考慮求導(dǎo)數(shù)或求積分，把運(yùn)算后的函數(shù)套公式展開成冪級數(shù)，然后做逆運(yùn)算還原。

冪級數(shù)求和實(shí)質(zhì)是函數(shù)展開成冪級數(shù)的逆過程，類似考慮即可。

(未完待續(xù))