2016考研數(shù)學大綱專題解析之中值定理
新考研大綱如約而至。對考生而言,關(guān)注點應從對考綱的關(guān)注轉(zhuǎn)到如何更有效地復習上。筆者作為奮戰(zhàn)在教學一線的數(shù)學老師,考慮到這階段的同學已經(jīng)歷了基礎(chǔ)階段和暑期的復習,已具備一定基礎(chǔ),也對真題中的題型有一定了解,但未必形成知識體系,重難點也未必完全把握。所以,借助此次與廣大考生交流的機會,跨考教育數(shù)學教研室劉瑋宇老師梳理了高等數(shù)學中的重難點,以期給正在全力攀登的考生搭一把手。
專題三 中值定理
中值定理相關(guān)證明是考研數(shù)學認的重難點。以往這部分??甲C明題這種大題。而近兩年沒考。去年的高數(shù)證明題考的函數(shù)不等式的證明,今年出乎意料地考了一個用導數(shù)定義證明求導公式的證明題。盡管近兩年未考,但作為以前??即箢}的考點,哪位同學又敢對這部分內(nèi)容掉以輕心呢?好,這部分內(nèi)容的重要性無需贅述,那我們應該如何去把握呢?
首先應該把這部分的定理內(nèi)容弄清楚。習大大說:“打鐵還需自身硬!”我們要用這些定理去證明別的結(jié)論,先要自己把這些內(nèi)容弄透、弄熟。具體而言,這部分涉及的定理有:費馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、零點存在定理、介值定理、最值定理和積分中值定理。前四個定理屬于微分中值定理,中間三個定理屬于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),最后一個為積分相關(guān)定理。值得一提的是,除了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)這幾個定理外,其余定理要求會證明。
接下來,應總結(jié)真題中考過的此類題目的處理思路。這項工作可以自己完成,但須花費一定時間。跨考教育數(shù)學教研室的老師把近三十年的真題收集起來,總結(jié)出解題思路,在此分享給各位考生。
中值相關(guān)證明是從條件出發(fā)還是從結(jié)論出發(fā)呢?大部分情況下應從結(jié)論出發(fā)。看待證的式子是含一個中值還是兩個中值。若含一個中值,接下來再看,是否含導數(shù)。若含一個中值并且含導數(shù),則優(yōu)先考慮羅爾定理,接下來的思路就是構(gòu)造輔助函數(shù)以及找兩個點的函數(shù)值相等(注意這兩個點未必是區(qū)間的端點,也可能是區(qū)間內(nèi)部的點)。若含一個中值并且不含導數(shù),那考慮閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),那塊有兩個常用的定理等著咱們——零點定理和介值定理。選哪個定理呢?小方法來啦!看待證的中值是位于閉區(qū)間還是開區(qū)間,若是閉區(qū)間,則選介值定理,因為介值定理結(jié)論就是中值位于閉區(qū)間;反之則選零點定理,因為零點定理結(jié)論就是中值位于開區(qū)間。
好,一個中值的思路說完了,下面考慮兩個中值的情況。請問,若待證式子含兩個中值,這是用了幾次定理的結(jié)果?兩次!為什么?因為用一次定理得到的式子只含有一個中值,即便復雜如柯西中值定理也不例外。所以,要出現(xiàn)兩個中值,一定是用兩次定理的結(jié)果。當然,用兩次定理,肯定得到兩個式子,最終的一個式子含兩個中值應為前面得到的兩個式子合并后的結(jié)果。那么,用哪個定理?根據(jù)對真題的分析,兩個中值的情況一般考慮拉格朗日或柯西定理。具體是用的哪個定理?對哪個函數(shù)用的?這可以通過觀察待證的式子得到。
總之,此類問題的思路有點像犯罪現(xiàn)場調(diào)查:出現(xiàn)這種結(jié)果,是如何造成的?誰是有嫌疑的函數(shù),該函數(shù)是通過何種作案工具(定理)造成這種結(jié)果的。如果有這種體會,那么我們在做題的同時,也過了一把當福爾摩斯那樣的大偵探的癮。
當然,弄熟基本定理,也弄透了上述處理真題的思路,是否能輕松搞定全部真題呢?未必。真題中有各種變形,有了大致思路,還需把各個細節(jié)想清楚:如確定考慮羅爾定理了,那輔助函數(shù)如何構(gòu)造,函數(shù)值相等的兩點如何找?如確定了用拉格朗日或柯西定理,那輔助函數(shù)如何構(gòu)造,具體選哪個定理?這些細節(jié)需要結(jié)合真題一步步想通,多練習才能掌握。
相關(guān)推薦:
2016考研大綱解析專題 2016考研大綱原文及解析下載專題
2016政治考研大綱原文匯總 2016數(shù)學考研大綱原文匯總 2016英語考研大綱原文匯總
2022考研初復試已經(jīng)接近尾聲,考研學子全面進入2023屆備考,跨考為23考研的考生準備了10大課包全程準備、全年復習備考計劃、目標院校專業(yè)輔導、全真復試模擬練習和全程針對性指導;2023考研的小伙伴針也已經(jīng)開始擇校和復習了,跨考考研暢學5.0版本全新升級,無論你在校在家都可以更自如的完成你的考研復習,暑假集訓營帶來了院校專業(yè)初步選擇,明確方向;考研備考全年規(guī)劃,核心知識點入門;個性化制定備考方案,助你贏在起跑線,早出發(fā)一點離成功就更近一點!
點擊右側(cè)咨詢或直接前往了解更多
考研院校專業(yè)選擇和考研復習計劃 | |||
2023備考學習 | 2023線上線下隨時學習 | 34所自劃線院??佳袕驮嚪謹?shù)線匯總 | |
2022考研復試最全信息整理 | 全國各招生院??佳袕驮嚪謹?shù)線匯總 | ||
2023全日制封閉訓練 | 全國各招生院??佳姓{(diào)劑信息匯總 | ||
2023考研先知 | 考研考試科目有哪些? | 如何正確看待考研分數(shù)線? | |
不同院校相同專業(yè)如何選擇更適合自己的 | 從就業(yè)說考研如何擇專業(yè)? | ||
手把手教你如何選專業(yè)? | 高校研究生教育各學科門類排行榜 |
相關(guān)推薦
跨考考研課程
班型 | 定向班型 | 開班時間 | 高定班 | 標準班 | 課程介紹 | 咨詢 |
秋季集訓 | 沖刺班 | 9.10-12.20 | 168000 | 24800起 | 小班面授+專業(yè)課1對1+專業(yè)課定向輔導+協(xié)議加強課程(高定班)+專屬規(guī)劃答疑(高定班)+精細化答疑+復試資源(高定班)+復試課包(高定班)+復試指導(高定班)+復試班主任1v1服務(高定班)+復試面授密訓(高定班)+復試1v1(高定班) | |
2023集訓暢學 | 非定向(政英班/數(shù)政英班) | 每月20日 | 22800起(協(xié)議班) | 13800起 | 先行階在線課程+基礎(chǔ)階在線課程+強化階在線課程+真題階在線課程+沖刺階在線課程+專業(yè)課針對性一對一課程+班主任全程督學服務+全程規(guī)劃體系+全程測試體系+全程精細化答疑+擇校擇專業(yè)能力定位體系+全年關(guān)鍵環(huán)節(jié)指導體系+初試加強課+初試專屬服務+復試全科標準班服務 |