2015考研數(shù)學(xué):線性代數(shù)必備知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
2014年研究生備考的硝煙還未散盡時(shí),另一場(chǎng)戰(zhàn)役已經(jīng)打響。在考研數(shù)學(xué)的三門課里,線性代數(shù)這門課的特點(diǎn)又是什么呢?線性代數(shù)這門課對(duì)考生的抽象能力的要求特別的高,大綱要求主要考查的有抽象行列式的計(jì)算,抽象矩陣求逆,抽象矩陣求秩,抽象行列式求特征值與特征向量,這四種抽象題型是考研線性代數(shù)每年常出題型,占有很大比重,要求同學(xué)們有較高的綜合能力。
線性代數(shù)的前后知識(shí)的連續(xù)性強(qiáng)完全是由它自身的知識(shí)體系和邏輯推理方式來決定的,很多同學(xué)也都說線性代數(shù)的公式概念結(jié)論特別的多,前后聯(lián)系特別的緊密,在做一個(gè)題時(shí),如果有一個(gè)公式或者結(jié)論不知道,后面的過程就無(wú)法做下去,其實(shí)這也符合考研大綱的要求的考生運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)分析問題和解決問題的能力。如果和高等數(shù)學(xué)做個(gè)比較,我們把高等數(shù)學(xué)看作是一個(gè)連續(xù)性的推理過程,線性代數(shù)就是一個(gè)跳躍性的推理過程,在做題時(shí)表現(xiàn)的會(huì)很明顯。同學(xué)們?cè)谧龈叩葦?shù)學(xué)的題時(shí),從第一步到第二步到第三步在數(shù)學(xué)式子上一個(gè)一個(gè)等下去很清晰,但是同學(xué)們?cè)谧鼍€性代數(shù)的題目時(shí)從第一步到第二步到第三步經(jīng)常在數(shù)學(xué)式子上看不出來,比如行列式的計(jì)算,從第幾行(或列)加到哪行(列)很多時(shí)候很難一下子看出來。針對(duì)上述特點(diǎn),給出線性代數(shù)的各章節(jié)重要知識(shí)點(diǎn)具體復(fù)習(xí)建議,希望同學(xué)們的復(fù)習(xí)能夠有的放矢。
一、行列式與矩陣
行列式、矩陣是線性代數(shù)中的基礎(chǔ)章節(jié),從命題人的角度來看,可以像潤(rùn)滑油一般結(jié)合其它章節(jié)出題,因此必須熟練掌握。
行列式的核心內(nèi)容是求行列式——具體行列式的計(jì)算和抽象行列式的計(jì)算。其中具體行列式的計(jì)算又有低階和高階兩種類型,主要方法是應(yīng)用行列式的性質(zhì)及按行(列)展開定理化為上下三角行列式求解;而對(duì)于抽象行列式而言,考點(diǎn)不在如何求行列式,而在于結(jié)合后面章節(jié)內(nèi)容的相對(duì)綜合的題。
矩陣部分出題很靈活,頻繁出現(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)包括矩陣各種運(yùn)算律、矩陣的基本性質(zhì)、矩陣可逆的判定及求逆、矩陣的秩、初等矩陣等。
二、向量與線性方程組
向量與線性方程組是整個(gè)線性代數(shù)部分的核心內(nèi)容。相比之下,行列式和矩陣可視作是為了討論向量和線性方程組部分的問題而做鋪墊的基礎(chǔ)性章節(jié),而其后兩章特征值和特征向量、二次型的內(nèi)容則相對(duì)獨(dú)立,可以看作是對(duì)核心內(nèi)容的擴(kuò)展。
向量與線性方程組的內(nèi)容聯(lián)系很密切,很多知識(shí)點(diǎn)相互之間都有或明或暗的相關(guān)性。復(fù)習(xí)這兩部分內(nèi)容最有效的方法就是徹底理順諸多知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系,因?yàn)檫@樣做首先能夠保證做到真正意義上的理解,同時(shí)也是熟練掌握和靈活運(yùn)用的前提。
這部分的重要考點(diǎn)一是線性方程組所具有的兩種形式——矩陣形式和向量形式;二是線性方程組與向量以及其它章節(jié)的各種內(nèi)在聯(lián)系。
(1)齊次線性方程組與向量線性相關(guān)、無(wú)關(guān)的聯(lián)系
齊次線性方程組可以直接看出一定有解,因?yàn)楫?dāng)變量都為零時(shí)等式一定成立——印證了向量部分的一條性質(zhì)“零向量可由任何向量線性表示”。
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